1. (2,0 pontos) Homens e mulheres diferem no risco de fratura vertebral. Homens possuem risco aumentado para todos os tipos de fratura de ossos até aproximadamente 45 anos de idade, um efeito provavelmente devido à maior taxa geral de trauma emhorthens durante este periodo. Entretanto, após a idade de 45 anos, as mulheres possuem risco aumentado de fratura vertebral, mais provavelmente devido a aumentos relacionados à idade da osteoporose, uma doença caracterizeda pelo decréscimo na densidade óssea. S. Kudlacek e colaboradores queriam investigar a relação entre género e densidade éssea em um grupo de adultos idosos que tinham passado por fratura óssea vertebral. Seus dados
Grupo Tamanho amostral Média Erro-padrão da Média
Mulheres com fratura
ossea
20 70,3 2,55
Homens com fratura
ossea
19 76,2 3,11
Kudlacek, S. et al. Gender differences in fracture risk an bone mineral density. Maturitas, 2000;36:173-180.
såo apresentados na tabela abaixo.
Hà diferenças nas incertezas dos dados apresentados? Há diferenças na densidade óssea vertebral média entre homens e mulheres de idades similares que tinham passado por fratura óssea vertebral, com 95 \% de confiança?

Passo 1

O enunciado compara a densidade óssea vertebral média de dois grupos de adultos idosos com fratura: mulheres n_1=20, média \bar x_1=70,3, erro-padrão \mathrm{SE}_1=2,55 e homens n_2=19, média \bar x_2=76,2, erro-padrão \mathrm{SE}_2=3,11. Vamos ver (a) se as incertezas são diferentes e (b) se há diferença significativa entre as médias a 95\% de confiança.

Passo 2

Para comparar incertezas, reconstrói-se o desvio-padrão amostral em cada grupo via
s_i = \mathrm{SE}_i \,\sqrt{n_i}.
Assim,
s_1 = 2,55\sqrt{20}\approx11,41, \qquad s_2 = 3,11\sqrt{19}\approx13,56.

Passo 3

Fazemos o teste de igualdade de variâncias (teste de Fisher). A estatística é
F = \frac{s_1^2}{s_2^2} = \frac{11,41^2}{13,56^2}\approx0,709.
Com graus de liberdade (\nu_1,\nu_2)=(19,18), os valores críticos bilaterais a \alpha=0,05 são aproximadamente F_{0,975}(19,18)\approx2,80 e 1/2,80\approx0,357. Como
0,357 < 0,709 < 2,80,
não rejeitamos H_0: não há diferença significativa nas variâncias (ou seja, nas incertezas).

Passo 4

Para testar se as médias diferem, aplicamos o teste t de Welch. A estatística é
t = \frac{\bar x_1 - \bar x_2}{\sqrt{\mathrm{SE}_1^2 + \mathrm{SE}_2^2}} = \frac{70,3 - 76,2}{\sqrt{2,55^2 + 3,11^2}} \approx \frac{-5,9}{4,02} \approx -1,47.
Os graus de liberdade aproximados são
\nu \approx \frac{(\mathrm{SE}_1^2+\mathrm{SE}_2^2)^2} {(\mathrm{SE}_1^4/19)+(\mathrm{SE}_2^4/18)} \approx35.
O valor crítico bilateral a 95\% é t_{0,975}(35)\approx2,03. Como |t|=1,47<2,03, não rejeitamos H_0: não há diferença significativa entre as médias.

Passo 5

Podemos também construir o intervalo de confiança para \mu_1-\mu_2:
(\bar x_1-\bar x_2)\pm t_{0,975}(35)\,\sqrt{\mathrm{SE}_1^2+\mathrm{SE}_2^2} =-5,9\pm2,03\times4,02 \approx[-14,1,\;2,3].
Como o intervalo inclui zero, reforça-se a conclusão de ausência de diferença significativa.

Resposta

  1. As incertezas \mathrm{SE}=2,55 vs. \mathrm{SE}=3,11 não diferem de modo significativo.
  2. As densidades ósseas médias também não diferem de modo significativo a 95\% de confiança.

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