1. (1,0 pontos) Estime o desvio padrão absoluto e o coeficiente de variaçăo dos resultados dos seguintes cálculos. Arredonde cada resuftado de maneira que contenham apenas algarismos significativos. Os números entre parênteses representam os desvios padrão absolutos.
    A)
    y=285( \pm 2) \times \frac{197,4( \pm 0,3)}{23,53( \pm 0,03)} \quad y=\frac{169( \pm 3)-54( \pm 1)}{183( \pm 5)-65( \pm 4)}

Passo 1

O enunciado pede para estimar o desvio padrão absoluto \sigma_y e o coeficiente de variação \mathrm{CV}=\frac{\sigma_y}{|y|}\times100\% em dois cálculos:
  1. y_1 = 285(\pm2)\times\frac{197,4(\pm0,3)}{23,53(\pm0,03)}
  2. y_2 = \dfrac{169(\pm3)-54(\pm1)}{183(\pm5)-65(\pm4)}
    Para isso vamos usar as fórmulas de propagação de incertezas em produto/quociente e em soma/diferença.

Passo 2

Para o primeiro caso y_1 = a\cdot b/c, a incerteza relativa satisfaz
\Bigl(\frac{\sigma_{y_1}}{y_1}\Bigr)^{2} =\Bigl(\frac{\sigma_a}{a}\Bigr)^{2} +\Bigl(\frac{\sigma_b}{b}\Bigr)^{2} +\Bigl(\frac{\sigma_c}{c}\Bigr)^{2}.
Aqui a=285, \sigma_a=2; b=197{,}4, \sigma_b=0{,}3; c=23{,}53, \sigma_c=0{,}03.

Passo 3

Calculemos primeiro o valor numérico de y_1 e depois \sigma_{y_1}:
y_1 = \frac{285\times197{,}4}{23{,}53}\approx2391.
As frações de incerteza são
\frac{\sigma_a}{a}=\frac{2}{285}\approx0{,}00702,\quad \frac{\sigma_b}{b}=\frac{0{,}3}{197{,}4}\approx0{,}00152,\quad \frac{\sigma_c}{c}=\frac{0{,}03}{23{,}53}\approx0{,}00128.
Logo
\frac{\sigma_{y_1}}{y_1} =\sqrt{(0{,}00702)^2+(0{,}00152)^2+(0{,}00128)^2} \approx0{,}00729,
\sigma_{y_1}=0{,}00729\times2391\approx17{,}4\approx20
(arredondando a uma ordem de grandeza, fica \sigma_{y_1}=20).

Passo 4

O coeficiente de variação de y_1 é
\mathrm{CV}_1 =\frac{\sigma_{y_1}}{|y_1|}\times100\% =\frac{20}{2391}\times100\%\approx0{,}84\%\approx0{,}8\%.

Passo 5

Para o segundo caso y_2=(A-B)/(C-D), primeiro propagamos em cada diferença:
A=169,\;\sigma_A=3,\quad B=54,\;\sigma_B=1 \;\Longrightarrow\;N=A-B=115,\; \sigma_N=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\approx3{,}2.
C=183,\;\sigma_C=5,\quad D=65,\;\sigma_D=4 \;\Longrightarrow\;D_e=C-D=118,\; \sigma_{D_e}=\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{41}\approx6{,}4.
Depois usamos produto/quociente para y_2=N/D_e:
\Bigl(\frac{\sigma_{y_2}}{y_2}\Bigr)^2 =\Bigl(\frac{\sigma_N}{N}\Bigr)^2 +\Bigl(\frac{\sigma_{D_e}}{D_e}\Bigr)^2.

Passo 6

Calculemos y_2 e sua incerteza:
y_2=\frac{115}{118}\approx0{,}975,\quad \frac{\sigma_N}{N}=\frac{3{,}2}{115}\approx0{,}028, \quad \frac{\sigma_{D_e}}{D_e}=\frac{6{,}4}{118}\approx0{,}054.
\frac{\sigma_{y_2}}{y_2} =\sqrt{(0{,}028)^2+(0{,}054)^2}\approx0{,}061 \;\Longrightarrow\; \sigma_{y_2}=0{,}061\times0{,}975\approx0{,}059\approx0{,}06.
O coeficiente de variação fica
\mathrm{CV}_2 =\frac{0{,}06}{0{,}975}\times100\%\approx6\%.

Resposta

Para y_1=285(\pm2)\times\frac{197,4(\pm0,3)}{23,53(\pm0,03)}
y_1=(2390\pm20),\quad \mathrm{CV}_1\approx0{,}8\%.
Para y_2=\dfrac{169(\pm3)-54(\pm1)}{183(\pm5)-65(\pm4)}
y_2=(0{,}98\pm0{,}06),\quad \mathrm{CV}_2\approx6\%.

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