(2 pontos) I_{b}=\int \frac{\left(4 x^{3}+x-3\right) d x}{\sqrt{2 x^{4}+x^{2}-6 x+10}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
I_{b}=\int \frac{\left(4 x^{3}+x-3\right)\,dx}{\sqrt{2 x^{4}+x^{2}-6 x+10}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A integral é indefinida (procura-se uma primitiva).
  • O integrando tem um numerador polinomial \left(4 x^{3}+x-3\right) e um denominador que é a raiz quadrada do polinômio 2 x^{4}+x^{2}-6 x+10.

Passo 2

Observação essencial (motivo da escolha da técnica mais à frente): calcule a derivada do polinômio que aparece dentro da raiz. Seja
u = 2 x^{4}+x^{2}-6 x+10.
A derivada de u em relação a x é
\frac{du}{dx}=8 x^{3}+2 x-6.
Escrevendo em forma diferencial:
du=(8 x^{3}+2 x-6)\,dx=2\,(4 x^{3}+x-3)\,dx.
Portanto identificamos que
(4 x^{3}+x-3)\,dx=\frac{1}{2}\,du.
Isto mostra que o numerador é proporcional à derivada do que está dentro da raiz — um sinal clássico de que uma substituição simples vai simplificar muito a integral.

Passo 3

Façamos a substituição indicada pela observação do passo anterior:
u = 2 x^{4}+x^{2}-6 x+10, \qquad (4 x^{3}+x-3)\,dx=\frac{1}{2}\,du.
Substituindo na integral original obtemos
I_{b}=\int \frac{\left(4 x^{3}+x-3\right)\,dx}{\sqrt{2 x^{4}+x^{2}-6 x+10}} =\int \frac{\tfrac{1}{2}\,du}{\sqrt{u}} =\tfrac{1}{2}\int u^{-1/2}\,du.

Passo 4

Agora integramos usando a regra da potência para primitivação: para n\neq -1 vale
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=-\tfrac{1}{2}, então
\tfrac{1}{2}\int u^{-1/2}\,du =\tfrac{1}{2}\cdot\frac{u^{(-1/2)+1}}{(-1/2)+1}+C =\tfrac{1}{2}\cdot\frac{u^{1/2}}{1/2}+C.
Como \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{1/2}=1, obtemos
I_{b}=u^{1/2}+C=\sqrt{u}+C.
Voltando à variável x,
I_{b}=\sqrt{2 x^{4}+x^{2}-6 x+10}+C.

Passo 5

Verificação rápida (bom hábito na prova): derivar a resposta para checar que recupera o integrando. Diferenciando \sqrt{u(x)}
\frac{d}{dx}\sqrt{u}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u'(x) =\frac{1}{2\sqrt{2 x^{4}+x^{2}-6 x+10}}\cdot(8 x^{3}+2 x-6) =\frac{4 x^{3}+x-3}{\sqrt{2 x^{4}+x^{2}-6 x+10}},
que é exatamente o integrando. Logo a primitiva está correta.

Passo 6

Dica prática para a prova (resumindo a técnica usada, de forma prática e rápida): sempre que o integrando tem uma função do tipo \sqrt{g(x)} (ou g(x) elevado a alguma potência) e o numerador é um polinômio, verifique se o numerador é proporcional a g'(x). Se for, a substituição u=g(x) simplifica imediatamente a integral.
Exemplo curto semelhante para treinar: \displaystyle \int \frac{2x}{\sqrt{x^{2}+1}}\,dx. Tomando u=x^{2}+1 tem-se du=2x\,dx, logo a integral vira \int u^{-1/2}\,du=2\sqrt{u}+C=2\sqrt{x^{2}+1}+C (note o mesmo padrão).

Resposta

\sqrt{2 x^{4}+x^{2}-6 x+10}+C

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