(2 pontos)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes fornecidas:
- A integral é indefinida (procura-se uma primitiva).
- O integrando tem um numerador polinomial
e um denominador que é a raiz quadrada do polinômio .
Passo 2
Observação essencial (motivo da escolha da técnica mais à frente): calcule a derivada do polinômio que aparece dentro da raiz. Seja
A derivada de
em relação a
é
Escrevendo em forma diferencial:
Portanto identificamos que
Isto mostra que o numerador é proporcional à derivada do que está dentro da raiz — um sinal clássico de que uma substituição simples vai simplificar muito a integral.
Passo 3
Façamos a substituição indicada pela observação do passo anterior:
Substituindo na integral original obtemos
Passo 4
Agora integramos usando a regra da potência para primitivação: para
vale
Aqui
, então
Como
, obtemos
Voltando à variável
,
Passo 5
Verificação rápida (bom hábito na prova): derivar a resposta para checar que recupera o integrando. Diferenciando
dá
que é exatamente o integrando. Logo a primitiva está correta.
Passo 6
Dica prática para a prova (resumindo a técnica usada, de forma prática e rápida): sempre que o integrando tem uma função do tipo
(ou
elevado a alguma potência) e o numerador é um polinômio, verifique se o numerador é proporcional a
. Se for, a substituição
simplifica imediatamente a integral.
Exemplo curto semelhante para treinar:
. Tomando
tem-se
, logo a integral vira
(note o mesmo padrão).