Seja X_{1}, X_{2}, X_{3}, \ldots \ldots \ldots, X_{n} uma amostra aleatória de tamanho n de uma população normal com média \mu e variância \sigma^{2}. Com respeito à inferência e estimação de \mu, indique se alternativa é verdadeira ou falsa. Caso seja falsa, justifique sua resposta.
(a) Se dois intervalos de confiança que estão sendo comparados apresentam o mesmo coeficiente de confiança, então se deve preferir aquele que apresenta a maior amplitude.
(b) Suponha que \sigma^{2} seja desconhecido. O intervalo de confiança para a média da população, \mu, será P\left(\bar{X}-z \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{X}+z \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)=2 \Phi(z)-1 em que \Phi(z) é a função de distribuição Normal Padrão.
(c) Se a variância \sigma^{2} é desconhecida, o intervalo de confiança de 95 \% para a média \mu será \left[\bar{X}-t_{c} \frac{s}{\sqrt{n}}, \bar{X}+t_{c} \frac{s}{\sqrt{n}}\right], em que s é o desvio padrão da amostra, t_{c} é calculado de forma que P\left(|t|<t_{c}\right)=0,95, e t segue uma distribuição de Student com n-1 graus de liberdade.
(d) Se construirmos vários intervalos de confiança para a média \mu com amostras de idêntico tamanho, mesma variância \sigma^{2} e mesma margem de confiança, estes terão extremos aleatórios, mas todos terão a mesma amplitude.
(e) Se a amostra aleatória X_{1}, X_{2}, X_{3}, \ldots \ldots \ldots, X_{n} não provém de uma distribuição normal, não se pode construir um intervalo de confiança para a média \mu, ainda que a amostra seja muito grande.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra aleatória X_{1},\dots,X_{n} de uma população Normal com média \mu e variância \sigma^{2}. Pede, para cada alternativa (a)–(e), indicar se é verdadeira ou falsa e, se for falsa, justificar.
As cinco afirmações a analisar são:
(a) Se dois intervalos de confiança com o mesmo coeficiente de confiança são comparados, deve-se preferir o que tem maior amplitude.
(b) Suponha que \sigma^{2} seja desconhecido. O intervalo de confiança para \mu será \displaystyle P\!\left(\bar{X}-z\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\le\mu\le\bar{X}+z\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)=2\Phi(z)-1, onde \Phi é a função de distribuição da Normal padrão.
(c) Se \sigma^{2} é desconhecida, o IC de 95\% para \mu será \displaystyle\left[\bar{X}-t_{c}\frac{s}{\sqrt{n}},\\ \bar{X}+t_{c}\frac{s}{\sqrt{n}}\right], onde s é o desvio amostral, t_{c} satisfaz \displaystyle P(|t|<t_{c})=0,95 e t\sim t_{n-1}.
(d) Se construirmos vários ICs para \mu com amostras do mesmo tamanho, mesma variância \sigma^{2} e mesma confiança, os extremos serão aleatórios, mas todos terão a mesma amplitude.
(e) Se a amostra não provém de distribuição normal, não se pode construir IC para \mu, mesmo que a amostra seja muito grande.

Passo 2

Breve revisão (didática) dos conceitos que vamos usar.
  • O intervalo de confiança (IC) para \mu é um intervalo aleatório [L(\mathbf{X}),U(\mathbf{X})] construído de forma que a probabilidade (em sentido frequentista) de conter o valor verdadeiro \mu seja igual ao nível de confiança. Por exemplo, nível 1-\alpha significa
P\big(L(\mathbf{X})\le\mu\le U(\mathbf{X})\big)=1-\alpha.
Essa probabilidade é sobre a amostra (ou seja, sobre \bar{X} e s), não sobre \mu.
  • Caso a variância populacional \sigma^{2} seja conhecida, o IC simétrico de nível 1-\alpha é obtido usando a Normal padrão Z. A estatística
Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}
tem distribuição N(0,1). Tomando z_{1-\alpha/2} tal que \displaystyle P(-z_{1-\alpha/2}\le Z\le z_{1-\alpha/2})=1-\alpha, obtemos o IC
\left[\bar{X}-z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\\ \bar{X}+z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right].
A amplitude (comprimento) desse intervalo é
\text{amplitude}=2\,z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
que depende apenas de \sigma, n e do nível 1-\alpha — portanto, se esses três forem fixos, a amplitude é constante (não aleatória), enquanto os extremos mudam porque \bar{X} é aleatório.
  • Caso \sigma^{2} seja desconhecida e a população seja Normal, substitui-se \sigma por s e usa-se a distribuição t de Student:
T=\frac{\bar{X}-\mu}{s/\sqrt{n}}\sim t_{n-1}.
Tomando t_{n-1,\,1-\alpha/2} tal que \displaystyle P\big(-t_{n-1,\,1-\alpha/2}\le T\le t_{n-1,\,1-\alpha/2}\big)=1-\alpha, obtemos o IC
\left[\bar{X}-t_{n-1,\,1-\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}},\\ \bar{X}+t_{n-1,\,1-\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}}\right].
Aqui a amplitude é
\text{amplitude}=2\,t_{n-1,\,1-\alpha/2}\,\frac{s}{\sqrt{n}},
que é aleatória porque depende de s (o desvio amostral).
  • Quando a distribuição da população não é normal, mas n é grande, o Teorema Central do Limite (TCL) diz que \bar{X} é aproximadamente Normal com média \mu e variância \sigma^{2}/n. Isso permite construir ICs aproximados (com quantil z da Normal) mesmo sem normalidade exata. Para amostras pequenas e população fortemente não normal (por exemplo com caudas muito pesadas), os ICs baseados em Normal/t podem não ser válidos.

Passo 3

Afirmação (a): “Se dois intervalos de confiança que estão sendo comparados apresentam o mesmo coeficiente de confiança, então se deve preferir aquele que apresenta a maior amplitude.”
  • Intuição: amplitude maior significa menor precisão — intervalo maior dá menos informação sobre onde \mu está. Em inferência prefere-se estimadores/intervalos mais precisos, logo amplitudes menores são melhores quando o nível de confiança é o mesmo.
  • Exemplo numérico rápido: suponha dois ICs de 95\% para \mu: um é [\bar{X}-1,\bar{X}+1] e outro [\bar{X}-2,\bar{X}+2]. Ambos têm cobertura nominal 95\% mas o primeiro é mais informativo (mais estreito). Preferimos o de menor amplitude.
Conclusão: a afirmativa é falsa. Justificativa: para o mesmo nível de confiança, preferimos o intervalo de menor amplitude (maior precisão), não o maior.

Passo 4

Afirmação (b): supõe \sigma^{2} desconhecida e diz que o IC é \displaystyle P\!\left(\bar{X}-z\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\le\mu\le\bar{X}+z\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)=2\Phi(z)-1.
  • Problema lógico: se \sigma^{2} é desconhecida, não se pode usar \sigma no IC prático; usa-se s e a distribuição t. A expressão com z e \sigma é válida apenas quando \sigma é conhecida.
  • Além disso, a forma correta quando \sigma é conhecida é
P\!\left(\bar{X}-z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\le\mu\le\bar{X}+z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)=1-\alpha=2\Phi(z_{1-\alpha/2})-1.
Mas esse resultado NÃO é aplicável quando \sigma é desconhecida (então a estatística padrão normal não se aplica).
Conclusão: a afirmativa é falsa. Justificativa: com \sigma^{2} desconhecida deve-se usar s e a distribuição t (ou approximar por z somente quando n for grande e se aceitar uma aproximação pelo TCL); a expressão dada é a do caso \sigma conhecido.

Passo 5

Afirmação (c): quando \sigma^{2} é desconhecida, o IC de 95\% para \mu é \displaystyle\left[\bar{X}-t_{c}\frac{s}{\sqrt{n}},\\ \bar{X}+t_{c}\frac{s}{\sqrt{n}}\right], com t seguindo t_{n-1} e t_{c} tal que P(|t|<t_{c})=0,95.
  • Derivação rápida: se a população é Normal e \sigma desconhecida, então T=(\bar{X}-\mu)/(s/\sqrt{n})\sim t_{n-1}. Tomando t_{c}=t_{n-1,\,1-0,05/2}=t_{n-1,\,0,975} tal que \displaystyle P(|T|<t_{c})=0,95, rearranjando obtemos exatamente o IC indicado.
  • Observação prática: t_{c} é o quantil simétrico da t com n-1 graus de liberdade que garante área central 0,95.
Conclusão: a afirmativa é verdadeira. Justificativa: é a formulação correta do IC de 95\% para \mu quando a população é Normal e \sigma é desconhecida.

Passo 6

Afirmação (d): “Se construirmos vários ICs para \mu com amostras de idêntico tamanho, mesma variância \sigma^{2} e mesma margem de confiança, estes terão extremos aleatórios, mas todos terão a mesma amplitude.”
  • Caso \sigma seja conhecido e a construção use o quantil da Normal: a amplitude é
2\,z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
que depende apenas de \sigma, n e do nível 1-\alpha. Se essas três coisas são fixas, a amplitude é fixa (constante) e os extremos diferem porque \bar{X} varia — então a afirmação é correta nesse cenário.
  • Caso \sigma seja desconhecida e o IC use s e t_{n-1}, a amplitude é
2\,t_{n-1,\,1-\alpha/2}\,\frac{s}{\sqrt{n}},
onde s varia entre amostras; portanto a amplitude será aleatória e geralmente NÃO será a mesma para todos os intervalos.
  • O enunciado afirma que as amostras têm "mesma variância \sigma^{2}". Se isso significa que se conhece e se utiliza a variância populacional \sigma^{2} na construção do IC, então a afirmação é verdadeira. Se, em vez disso, a variância populacional é apenas igual entre populações mas é desconhecida e se usa s, a afirmação é falsa.
Conclusão: a afirmativa é verdadeira sob a interpretação usual em que se usa a \sigma populacional conhecida (então amplitude constante). Justificativa: com \sigma conhecida a amplitude do IC depende só de \sigma, n e do nível de confiança; por isso, com esses fixos, todos os intervalos terão a mesma amplitude (os extremos variam porque \bar{X} varia). Observação prática: se \sigma for desconhecida e for usada a substituição por s, a amplitude passa a variar.

Passo 7

Afirmação (e): “Se a amostra aleatória X_{1},\dots,X_{n} não provém de uma distribuição normal, não se pode construir um IC para \mu, ainda que a amostra seja muito grande.”
  • O Teorema Central do Limite (TCL) diz que, para variância finita, quando n é grande a distribuição de \bar{X} é aproximadamente Normal com média \mu e variância \sigma^{2}/n, mesmo que a população não seja Normal. Assim, para grande n podemos construir um IC aproximado para \mu usando quantis da Normal (ou usar métodos bootstrap mais gerais).
  • Portanto a afirmativa é falsa: uma amostra grande permite (em geral) construir um IC aproximado para \mu mesmo sem normalidade da população. Observação: se a população tiver variância infinita ou caudas muito pesadas, o TCL pode não valer na prática, então há exceções técnicas, mas em geral para populações com \mathrm{Var}(X_i)<\infty o TCL garante a aproximação.
Conclusão: a afirmativa é falsa. Justificativa: o TCL permite construir ICs aproximados para médias com amostras grandes mesmo sem normalidade.

Resposta

(a) Falsa
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(d) Verdadeira (sob a interpretação em que a variância populacional \sigma^{2} é conhecida e usada no construção do IC; se \sigma for desconhecida e usar s, a amplitude varia)
(e) Falsa

Exercícios relacionados