Seja
uma amostra aleatória de tamanho
de uma população normal com média
e variância
. Com respeito à inferência e estimação de
, indique se alternativa é verdadeira ou falsa. Caso seja falsa, justifique sua resposta.
(a) Se dois intervalos de confiança que estão sendo comparados apresentam o mesmo coeficiente de confiança, então se deve preferir aquele que apresenta a maior amplitude.
(b) Suponha que
seja desconhecido. O intervalo de confiança para a média da população,
, será
em que
é a função de distribuição Normal Padrão.
(c) Se a variância
é desconhecida, o intervalo de confiança de
para a média
será
, em que
é o desvio padrão da amostra,
é calculado de forma que
, e
segue uma distribuição de Student com
graus de liberdade.
(d) Se construirmos vários intervalos de confiança para a média
com amostras de idêntico tamanho, mesma variância
e mesma margem de confiança, estes terão extremos aleatórios, mas todos terão a mesma amplitude.
(e) Se a amostra aleatória
não provém de uma distribuição normal, não se pode construir um intervalo de confiança para a média
, ainda que a amostra seja muito grande.
(a) Se dois intervalos de confiança que estão sendo comparados apresentam o mesmo coeficiente de confiança, então se deve preferir aquele que apresenta a maior amplitude.
(b) Suponha que
(c) Se a variância
(d) Se construirmos vários intervalos de confiança para a média
(e) Se a amostra aleatória
Passo 1
O enunciado dá uma amostra aleatória
de uma população Normal com média
e variância
. Pede, para cada alternativa (a)–(e), indicar se é verdadeira ou falsa e, se for falsa, justificar.
As cinco afirmações a analisar são:
(a) Se dois intervalos de confiança com o mesmo coeficiente de confiança são comparados, deve-se preferir o que tem maior amplitude.
(b) Suponha que seja desconhecido. O intervalo de confiança para
será
, onde
é a função de distribuição da Normal padrão.
(c) Se é desconhecida, o IC de
para
será
, onde
é o desvio amostral,
satisfaz
e
.
(d) Se construirmos vários ICs para com amostras do mesmo tamanho, mesma variância
e mesma confiança, os extremos serão aleatórios, mas todos terão a mesma amplitude.
(e) Se a amostra não provém de distribuição normal, não se pode construir IC para , mesmo que a amostra seja muito grande.
(a) Se dois intervalos de confiança com o mesmo coeficiente de confiança são comparados, deve-se preferir o que tem maior amplitude.
(b) Suponha que
(c) Se
(d) Se construirmos vários ICs para
(e) Se a amostra não provém de distribuição normal, não se pode construir IC para
Passo 2
Breve revisão (didática) dos conceitos que vamos usar.
- O intervalo de confiança (IC) para
é um intervalo aleatório construído de forma que a probabilidade (em sentido frequentista) de conter o valor verdadeiro seja igual ao nível de confiança. Por exemplo, nível significa
Essa probabilidade é sobre a amostra (ou seja, sobre
e
), não sobre
.
- Caso a variância populacional
seja conhecida, o IC simétrico de nível é obtido usando a Normal padrão . A estatística
tem distribuição
. Tomando
tal que
, obtemos o IC
A amplitude (comprimento) desse intervalo é
que depende apenas de
,
e do nível
— portanto, se esses três forem fixos, a amplitude é constante (não aleatória), enquanto os extremos mudam porque
é aleatório.
- Caso
seja desconhecida e a população seja Normal, substitui-se por e usa-se a distribuição de Student:
Tomando
tal que
, obtemos o IC
Aqui a amplitude é
que é aleatória porque depende de
(o desvio amostral).
- Quando a distribuição da população não é normal, mas
é grande, o Teorema Central do Limite (TCL) diz que é aproximadamente Normal com média e variância . Isso permite construir ICs aproximados (com quantil da Normal) mesmo sem normalidade exata. Para amostras pequenas e população fortemente não normal (por exemplo com caudas muito pesadas), os ICs baseados em Normal/t podem não ser válidos.
Passo 3
Afirmação (a): “Se dois intervalos de confiança que estão sendo comparados apresentam o mesmo coeficiente de confiança, então se deve preferir aquele que apresenta a maior amplitude.”
- Intuição: amplitude maior significa menor precisão — intervalo maior dá menos informação sobre onde
está. Em inferência prefere-se estimadores/intervalos mais precisos, logo amplitudes menores são melhores quando o nível de confiança é o mesmo. - Exemplo numérico rápido: suponha dois ICs de
para : um é e outro . Ambos têm cobertura nominal mas o primeiro é mais informativo (mais estreito). Preferimos o de menor amplitude.
Conclusão: a afirmativa é falsa. Justificativa: para o mesmo nível de confiança, preferimos o intervalo de menor amplitude (maior precisão), não o maior.
Passo 4
Afirmação (b): supõe
desconhecida e diz que o IC é
.
- Problema lógico: se
é desconhecida, não se pode usar no IC prático; usa-se e a distribuição . A expressão com e é válida apenas quando é conhecida. - Além disso, a forma correta quando
é conhecida é
Mas esse resultado NÃO é aplicável quando
é desconhecida (então a estatística padrão normal não se aplica).
Conclusão: a afirmativa é falsa. Justificativa: com
desconhecida deve-se usar
e a distribuição
(ou approximar por
somente quando
for grande e se aceitar uma aproximação pelo TCL); a expressão dada é a do caso
conhecido.
Passo 5
Afirmação (c): quando
é desconhecida, o IC de
para
é
, com
seguindo
e
tal que
.
- Derivação rápida: se a população é Normal e
desconhecida, então . Tomando tal que , rearranjando obtemos exatamente o IC indicado. - Observação prática:
é o quantil simétrico da com graus de liberdade que garante área central .
Conclusão: a afirmativa é verdadeira. Justificativa: é a formulação correta do IC de
para
quando a população é Normal e
é desconhecida.
Passo 6
Afirmação (d): “Se construirmos vários ICs para
com amostras de idêntico tamanho, mesma variância
e mesma margem de confiança, estes terão extremos aleatórios, mas todos terão a mesma amplitude.”
- Caso
seja conhecido e a construção use o quantil da Normal: a amplitude é
que depende apenas de
,
e do nível
. Se essas três coisas são fixas, a amplitude é fixa (constante) e os extremos diferem porque
varia — então a afirmação é correta nesse cenário.
- Caso
seja desconhecida e o IC use e , a amplitude é
onde
varia entre amostras; portanto a amplitude será aleatória e geralmente NÃO será a mesma para todos os intervalos.
- O enunciado afirma que as amostras têm "mesma variância
". Se isso significa que se conhece e se utiliza a variância populacional na construção do IC, então a afirmação é verdadeira. Se, em vez disso, a variância populacional é apenas igual entre populações mas é desconhecida e se usa , a afirmação é falsa.
Conclusão: a afirmativa é verdadeira sob a interpretação usual em que se usa a
populacional conhecida (então amplitude constante). Justificativa: com
conhecida a amplitude do IC depende só de
,
e do nível de confiança; por isso, com esses fixos, todos os intervalos terão a mesma amplitude (os extremos variam porque
varia). Observação prática: se
for desconhecida e for usada a substituição por
, a amplitude passa a variar.
Passo 7
Afirmação (e): “Se a amostra aleatória
não provém de uma distribuição normal, não se pode construir um IC para
, ainda que a amostra seja muito grande.”
- O Teorema Central do Limite (TCL) diz que, para variância finita, quando
é grande a distribuição de é aproximadamente Normal com média e variância , mesmo que a população não seja Normal. Assim, para grande podemos construir um IC aproximado para usando quantis da Normal (ou usar métodos bootstrap mais gerais). - Portanto a afirmativa é falsa: uma amostra grande permite (em geral) construir um IC aproximado para
mesmo sem normalidade da população. Observação: se a população tiver variância infinita ou caudas muito pesadas, o TCL pode não valer na prática, então há exceções técnicas, mas em geral para populações com o TCL garante a aproximação.
Conclusão: a afirmativa é falsa. Justificativa: o TCL permite construir ICs aproximados para médias com amostras grandes mesmo sem normalidade.
Resposta
(a) Falsa
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(d) Verdadeira (sob a interpretação em que a variância populacional é conhecida e usada no construção do IC; se
for desconhecida e usar
, a amplitude varia)
(e) Falsa
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(d) Verdadeira (sob a interpretação em que a variância populacional
(e) Falsa