Questão 3 (2 pontos) Aplique a tecnica de integração por partes para calcular
\mathbb{I}=\int\left(x^{2}+2 x\right) \cos (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\mathbb{I}=\int\left(x^{2}+2 x\right)\cos(x)\,dx
usando a técnica de integração por partes. As informações relevantes são:
  • A função a integrar é x^{2}+2x multiplicada por \cos(x).
  • Deve ser aplicada a fórmula de integração por partes (ou seja, não é pedido um método alternativo).
  • A resposta final deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Recordando a fórmula de integração por partes: para funções u(x) e v(x) suficientemente suaves vale
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui:
  • u é uma função que vamos derivar (gera du),
  • dv é a parte que vamos integrar (gera v).
    Uma regra prática: quando se tem um polinômio multiplicando uma função trigonométrica, escolhe-se o polinômio como u (porque ao derivar reduz o grau) e a parte trigonométrica como dv (porque é fácil integrar). Vou seguir isso.

Passo 3

Primeiro separo a integral:
\mathbb{I}=\int x^{2}\cos x\,dx + 2\int x\cos x\,dx.
Vou calcular \int x^{2}\cos x\,dx primeiro. Escolho
u=x^{2},\qquad dv=\cos x\,dx.
Então
du=2x\,dx,\qquad v=\int \cos x\,dx=\sin x.
Aplicando integração por partes:
\int x^{2}\cos x\,dx = x^{2}\sin x - \int \sin x\cdot 2x\,dx = x^{2}\sin x - 2\int x\sin x\,dx.

Passo 4

Agora calculo \int x\sin x\,dx por partes. Escolho
u=x,\qquad dv=\sin x\,dx.
Então
du=dx,\qquad v=\int \sin x\,dx=-\cos x.
Aplicando a fórmula:
\int x\sin x\,dx = x(-\cos x) - \int (-\cos x)\,dx = -x\cos x + \int \cos x\,dx.
Como \int \cos x\,dx=\sin x, obtemos
\int x\sin x\,dx = -x\cos x + \sin x.
Substituindo isso em \int x^{2}\cos x\,dx (do Passo 3):
\int x^{2}\cos x\,dx = x^{2}\sin x - 2\bigl(-x\cos x + \sin x\bigr) = x^{2}\sin x + 2x\cos x - 2\sin x.

Passo 5

Agora calculo a segunda parcela 2\int x\cos x\,dx. Primeiro \int x\cos x\,dx: escolho
u=x,\qquad dv=\cos x\,dx,
então
du=dx,\qquad v=\sin x.
Aplicando:
\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x.
Multiplicando por 2:
2\int x\cos x\,dx = 2x\sin x + 2\cos x.

Passo 6

Somando as duas parcelas (Passo 4 e Passo 5):
\mathbb{I} = \bigl(x^{2}\sin x + 2x\cos x - 2\sin x\bigr) + \bigl(2x\sin x + 2\cos x\bigr) + C.
Agrupando termos em \sin x e \cos x:
\mathbb{I} = \bigl(x^{2}+2x-2\bigr)\sin x + 2(x+1)\cos x + C.
Essa é uma forma limpa e fatorada da primitiva.

Resposta

\mathbb{I}=\bigl(x^{2}+2x-2\bigr)\sin x + 2(x+1)\cos x + C

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