Questão 3 (2 pontos) Aplique a tecnica de integração por partes para calcular
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
usando a técnica de integração por partes. As informações relevantes são:
- A função a integrar é
multiplicada por . - Deve ser aplicada a fórmula de integração por partes (ou seja, não é pedido um método alternativo).
- A resposta final deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Recordando a fórmula de integração por partes: para funções
e
suficientemente suaves vale
Aqui:
-
é uma função que vamos derivar (gera ), -
é a parte que vamos integrar (gera ).
Uma regra prática: quando se tem um polinômio multiplicando uma função trigonométrica, escolhe-se o polinômio como(porque ao derivar reduz o grau) e a parte trigonométrica como (porque é fácil integrar). Vou seguir isso.
Passo 3
Primeiro separo a integral:
Vou calcular
primeiro. Escolho
Então
Aplicando integração por partes:
Passo 4
Agora calculo
por partes. Escolho
Então
Aplicando a fórmula:
Como
, obtemos
Substituindo isso em
(do Passo 3):
Passo 5
Agora calculo a segunda parcela
. Primeiro
: escolho
então
Aplicando:
Multiplicando por
:
Passo 6
Somando as duas parcelas (Passo 4 e Passo 5):
Agrupando termos em
e
:
Essa é uma forma limpa e fatorada da primitiva.