Questão 07 - Usando o teorema de Green, calcule \int_{C} \vec{F} \cdot \overrightarrow{d r}, em que \vec{F}(x, y)=\left(e^{x}+x^{2} y, e^{y}-x y^{2}\right) e C é a circunferência x^{2}+y^{2}=1, orientada no sentido horário.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede calcular a integral de linha \displaystyle\int_{C}\vec{F}\cdot\overrightarrow{d r}.
  • A campo vetorial é \displaystyle\vec{F}(x,y)=\bigl(e^{x}+x^{2}y,\;e^{y}-x y^{2}\bigr). Vou chamar P(x,y)=e^{x}+x^{2}y e Q(x,y)=e^{y}-x y^{2}.
  • A curva C é a circunferência \displaystyle x^{2}+y^{2}=1, ou seja, o disco unitário como fronteira, e está orientada no sentido horário.
Resumo: calcular a integral de linha de \vec{F} sobre a fronteira do disco unitário, com orientação horária.

Passo 2

Por que usar o Teorema de Green e como ele se aplica (explicação didática):
  • O Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região D que a curva delimita. A forma prática que vamos usar é:
\displaystyle \oint_{C_{\text{ccw}}} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA,
onde C_{\text{ccw}} é a fronteira orientada positivamente (no sentido anti-horário).
  • Aqui C é orientada no sentido horário. A orientação horária é a inversa da positiva, então vale:
\displaystyle \oint_{C_{\text{hor}}} P\,dx + Q\,dy = -\oint_{C_{\text{ccw}}} P\,dx + Q\,dy.
Portanto, para a curva dada:
\displaystyle \oint_{C_{\text{hor}}} P\,dx+Q\,dy = -\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
  • Em palavras: aplico Green para transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre o disco unitário, levando em conta o sinal por causa da orientação horária.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais que aparecem no integrando (aulas rápidas de cálculo de derivadas parciais):
  • Identificar P e Q explicitamente:
P(x,y)=e^{x}+x^{2}y,\qquad Q(x,y)=e^{y}-x y^{2}.
  • Derivada parcial de P em relação a y: só o termo x^{2}y depende de y, então
\frac{\partial P}{\partial y}=x^{2}.
Explicação: ao derivar x^{2}y por y tratamos x como constante e obtemos x^{2}.
  • Derivada parcial de Q em relação a x: o termo e^{y} não depende de x (deriva para 0), e -x y^{2} deriva para -y^{2}, logo
\frac{\partial Q}{\partial x}=-y^{2}.
Explicação: ao derivar -x y^{2} por x tratamos y como constante e obtemos -y^{2}.

Passo 4

Formar o integrando e tratar o sinal da orientação:
  • Calcular a combinação que aparece em Green:
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = -y^{2}-x^{2} = -\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
  • Como vimos no Passo 2, a integral de linha com orientação horária é
\oint_{C_{\text{hor}}}\vec{F}\cdot d\vec r = -\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Substituindo o integrando:
\oint_{C_{\text{hor}}}\vec{F}\cdot d\vec r = -\iint_{D}\Bigl(-\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\Bigr)\,dA = \iint_{D}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dA.
Ou seja, o sinal duplo se cancela e a integral de linha iguala a integral dupla de x^{2}+y^{2} sobre o disco unitário D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}.

Passo 5

Escolher coordenadas polares para avaliar a integral dupla (e por quê):
  • Para regiões circulares e integrais que envolvem x^{2}+y^{2} é muito natural usar coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad dA = r\,dr\,d\theta.
  • Além disso x^{2}+y^{2}=r^{2}. Os limites para o disco unitário são 0\le r\le 1 e 0\le \theta\le 2\pi.
  • Montando a integral:
\iint_{D}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dA = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r^{2}\cdot r\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r^{3}\,dr\,d\theta.

Passo 6

Calcular a integral passo a passo:
  • Integral interna em r:
\int_{0}^{1} r^{3}\,dr = \left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4}.
  • Integral externa em \theta:
\int_{0}^{2\pi} \frac{1}{4}\,d\theta = \frac{1}{4}\cdot\bigl(2\pi\bigr)=\frac{\pi}{2}.
  • Portanto a integral dupla vale \dfrac{\pi}{2}, e como vimos no Passo 4 esse é também o valor da integral de linha sobre C com orientação horária.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}

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