Um corpo de prova de um solo areno-argiloso, com parâmetros de resistência c’
e
, foi submetido a um ensaio de cisalhamento direto. A tensão normal aplicada ao corpo de prova no instante da ruptura era de 100 kPa . Pede-se:
a) Determinar a resistência ao cisalhamento do corpo de prova.
b) Estimar a tensão cisalhante máxima que ocorreu no corpo de prova.
c) Estimar as tensões atuantes em um plano vertical no instante da ruptura.
a) Determinar a resistência ao cisalhamento do corpo de prova.
b) Estimar a tensão cisalhante máxima que ocorreu no corpo de prova.
c) Estimar as tensões atuantes em um plano vertical no instante da ruptura.
Passo 1
O enunciado dá um corpo de prova submetido a cisalhamento direto com as seguintes informações:
As perguntas são:
a) Determinar a resistência ao cisalhamento do corpo de prova no instante da ruptura (ou seja, o valor do esforço cortante na superfície de ruptura) — espera-se .
b) Estimar a tensão cisalhante máxima que ocorreu no corpo de prova (ou seja, a máxima tensão de cisalhamento no elemento, equivalente ao raio do círculo de Mohr) — espera-se .
c) Estimar as tensões atuantes em um plano vertical no instante da ruptura (são dados como e
).
a) Determinar a resistência ao cisalhamento do corpo de prova no instante da ruptura (ou seja, o valor do esforço cortante na superfície de ruptura) — espera-se
b) Estimar a tensão cisalhante máxima que ocorreu no corpo de prova (ou seja, a máxima tensão de cisalhamento no elemento, equivalente ao raio do círculo de Mohr) — espera-se
c) Estimar as tensões atuantes em um plano vertical no instante da ruptura (são dados como
Tenho todas as informações necessárias para resolver; agora vamos às contas passo a passo e com explicações.
Passo 2
Vamos calcular a resistência ao cisalhamento no plano de ruptura usando a lei de Mohr–Coulomb. A fórmula básica (que vale para o pico de resistência em um teste de cisalhamento direto) é:
onde:
-
é a tensão de cisalhamento na superfície considerada (kPa), -
é a coesão eficaz (kPa), -
é a tensão normal eficaz sobre essa superfície (kPa), -
é o ângulo de atrito interno (graus) e é a tangente desse ângulo (adimensional).
Aplicando aos valores dados:
Logo:
Arredondando para uma casa decimal obtemos
. Isso responde a letra (a).
Passo 3
Agora precisamos estimar a tensão cisalhante máxima ocorrida no corpo de prova. Para isso usamos a representação de Mohr (círculo de Mohr). Vou explicar com calma:
- No plano de tensões bidimensional, cada plano qualquer é representado por um ponto
no gráfico de Mohr (eixo horizontal , vertical ). - O círculo de Mohr que descreve o estado de tensões do corpo tem centro sobre o eixo
(vamos chamar o centro de com coordenada ) e raio . - O ponto correspondente ao plano de ruptura é
e ele está sobre esse círculo. - A máxima tensão cisalhante em qualquer ponto do material corresponde ao raio do círculo de Mohr, ou seja
.
Para achar
precisamos da posição do centro
. Usamos a condição geométrica de tangência entre o círculo de Mohr e a reta de Mohr–Coulomb
: no ponto de tangência o raio é perpendicular à reta de resistência. Em termos algébricos, isso dá a relação (obtida impondo que o vetor raio é ortogonal à reta de inclinação
):
sejam
e
as coordenadas do ponto de tangência; aqui
e
. A condição geométrica leva à igualdade
Essa expressão vem de igualdade entre a inclinação do raio e a inclinação perpendicular à reta de atrito; é uma fórmula direta e muito prática para obter o centro do círculo quando conhecemos o ponto de tangência.
Passo 4
Calculamos o centro do círculo usando a fórmula acima. Usando
:
Agora o raio
(que é a máxima tensão cisalhante ocorrida no corpo) é a distância do centro ao ponto de ruptura:
Substituindo os valores:
Portanto
. Isso responde a letra (b).
Passo 5
Por fim, vamos estimar as tensões atuantes em um plano vertical no instante da ruptura. Aqui é importante entender a relação geométrica no círculo de Mohr:
- Um plano perpendicular ao plano de ruptura (ou seja, rotacionado
no espaço físico) corresponde, no círculo de Mohr, ao ponto diametralmente oposto ao ponto da ruptura. - Se o ponto da ruptura é
, o ponto oposto tem coordenadas dadas por:
Usando
e
:
Arredondando aos valores pedidos, obtemos
e
. Isso responde a letra (c).