Um corpo de prova de um solo areno-argiloso, com parâmetros de resistência c’ =20 \mathrm{kPa} e \varphi^{\prime}=35^{\circ}, foi submetido a um ensaio de cisalhamento direto. A tensão normal aplicada ao corpo de prova no instante da ruptura era de 100 kPa . Pede-se:
a) Determinar a resistência ao cisalhamento do corpo de prova. \quad \tau_{\text {ruptura }}=90,0 \mathrm{kPa}
b) Estimar a tensão cisalhante máxima que ocorreu no corpo de prova. \quad \tau_{\text {máximo }}=109,9 \mathrm{kPa}á
c) Estimar as tensões atuantes em um plano vertical no instante da ruptura.
\sigma_{\text {plano vertical }}^{\prime}=226,1 \mathrm{kPa} \text { e } \tau_{\text {plano vertical }}^{\prime}=-90,0 \mathrm{kPa}

Passo 1

O enunciado dá um corpo de prova submetido a cisalhamento direto com as seguintes informações:
c' = 20\\ \mathrm{kPa},\qquad \varphi' = 35^\circ,\qquad \sigma_{\text{normal no plano de ruptura}}' = 100\\ \mathrm{kPa}.
As perguntas são:
a) Determinar a resistência ao cisalhamento do corpo de prova no instante da ruptura (ou seja, o valor do esforço cortante na superfície de ruptura) — espera-se \tau_{\text{ruptura}}=90{,}0\\ \mathrm{kPa}.
b) Estimar a tensão cisalhante máxima que ocorreu no corpo de prova (ou seja, a máxima tensão de cisalhamento no elemento, equivalente ao raio do círculo de Mohr) — espera-se \tau_{\text{máximo}}=109{,}9\\ \mathrm{kPa}á.
c) Estimar as tensões atuantes em um plano vertical no instante da ruptura (são dados como \sigma_{\text{plano vertical}}'=226{,}1\\ \mathrm{kPa} e \tau_{\text{plano vertical}}'=-90{,}0\\ \mathrm{kPa}).
Tenho todas as informações necessárias para resolver; agora vamos às contas passo a passo e com explicações.

Passo 2

Vamos calcular a resistência ao cisalhamento no plano de ruptura usando a lei de Mohr–Coulomb. A fórmula básica (que vale para o pico de resistência em um teste de cisalhamento direto) é:
\tau = c' + \sigma'\tan\varphi'
onde:
  • \tau é a tensão de cisalhamento na superfície considerada (kPa),
  • c' é a coesão eficaz (kPa),
  • \sigma' é a tensão normal eficaz sobre essa superfície (kPa),
  • \varphi' é o ângulo de atrito interno (graus) e \tan\varphi' é a tangente desse ângulo (adimensional).
Aplicando aos valores dados:
\tan 35^\circ \approx 0{,}7002.
Logo:
\tau_{\text{ruptura}} = c' + \sigma'\tan\varphi' = 20 + 100\cdot 0{,}7002 \approx 20 + 70{,}02 \approx 90{,}02\\ \mathrm{kPa}.
Arredondando para uma casa decimal obtemos \tau_{\text{ruptura}}\approx 90{,}0\\ \mathrm{kPa}. Isso responde a letra (a).

Passo 3

Agora precisamos estimar a tensão cisalhante máxima ocorrida no corpo de prova. Para isso usamos a representação de Mohr (círculo de Mohr). Vou explicar com calma:
  • No plano de tensões bidimensional, cada plano qualquer é representado por um ponto (\sigma_n,\tau) no gráfico de Mohr (eixo horizontal \sigma, vertical \tau).
  • O círculo de Mohr que descreve o estado de tensões do corpo tem centro sobre o eixo \sigma (vamos chamar o centro de C com coordenada (\sigma_c,0)) e raio R.
  • O ponto correspondente ao plano de ruptura é (\sigma_{\text{ruptura}}',\tau_{\text{ruptura}}) e ele está sobre esse círculo.
  • A máxima tensão cisalhante em qualquer ponto do material corresponde ao raio do círculo de Mohr, ou seja \tau_{\max}=R.
Para achar R precisamos da posição do centro \sigma_c. Usamos a condição geométrica de tangência entre o círculo de Mohr e a reta de Mohr–Coulomb \tau = c' + \sigma\tan\varphi': no ponto de tangência o raio é perpendicular à reta de resistência. Em termos algébricos, isso dá a relação (obtida impondo que o vetor raio é ortogonal à reta de inclinação \tan\varphi'):
sejam \sigma_t e \tau_t as coordenadas do ponto de tangência; aqui \sigma_t=\sigma_{\text{ruptura}}'=100\\ \mathrm{kPa} e \tau_t=\tau_{\text{ruptura}}=90{,}0\\ \mathrm{kPa}. A condição geométrica leva à igualdade
\sigma_c = \sigma_t + \tau_t\tan\varphi'.
Essa expressão vem de igualdade entre a inclinação do raio e a inclinação perpendicular à reta de atrito; é uma fórmula direta e muito prática para obter o centro do círculo quando conhecemos o ponto de tangência.

Passo 4

Calculamos o centro do círculo usando a fórmula acima. Usando \tan 35^\circ \approx 0{,}7002:
\sigma_c = 100 + 90\cdot 0{,}7002 \approx 100 + 63{,}02 \approx 163{,}02\\ \mathrm{kPa}.
Agora o raio R (que é a máxima tensão cisalhante ocorrida no corpo) é a distância do centro ao ponto de ruptura:
R = \sqrt{(\sigma_t-\sigma_c)^2 + \tau_t^2}.
Substituindo os valores:
\sigma_t-\sigma_c \approx 100 - 163{,}02 = -63{,}02\\ \mathrm{kPa},
R = \sqrt{(-63{,}02)^2 + 90^2} \approx \sqrt{3971 + 8100} \approx \sqrt{12071} \approx 109{,}9\\ \mathrm{kPa}.
Portanto \tau_{\text{máximo}} = R \approx 109{,}9\\ \mathrm{kPa}á. Isso responde a letra (b).

Passo 5

Por fim, vamos estimar as tensões atuantes em um plano vertical no instante da ruptura. Aqui é importante entender a relação geométrica no círculo de Mohr:
  • Um plano perpendicular ao plano de ruptura (ou seja, rotacionado 90^\circ no espaço físico) corresponde, no círculo de Mohr, ao ponto diametralmente oposto ao ponto da ruptura.
  • Se o ponto da ruptura é (\sigma_t,\tau_t)=(100,\;90), o ponto oposto tem coordenadas (\sigma',\tau') dadas por:
\sigma' = 2\sigma_c - \sigma_t,\qquad \tau' = -\tau_t.
Usando \sigma_c\approx 163{,}02\\ \mathrm{kPa} e \tau_t=90{,}0\\ \mathrm{kPa}:
\sigma_{\text{plano vertical}}' = 2\cdot 163{,}02 - 100 \approx 326{,}04 - 100 \approx 226{,}04\\ \mathrm{kPa},
\tau_{\text{plano vertical}}' = -90{,}0\\ \mathrm{kPa}.
Arredondando aos valores pedidos, obtemos \sigma_{\text{plano vertical}}'\approx 226{,}1\\ \mathrm{kPa} e \tau_{\text{plano vertical}}'=-90{,}0\\ \mathrm{kPa}. Isso responde a letra (c).

Resposta

\tau_{\text{ruptura}}=90{,}0\\ \mathrm{kPa}
\tau_{\text{máximo}}=109{,}9\\ \mathrm{kPa}á
\sigma_{\text{plano vertical}}'=226{,}1\\ \mathrm{kPa}
\tau_{\text{plano vertical}}'=-90{,}0\\ \mathrm{kPa}

Exercícios relacionados