(2,0 pontos) Imagine duas firmas ( i=1,2 ) que competem em um mercado escolhendo cada uma o seu respectivo preço, p_{i}. O comportamento ótimo, maximizador de lucro, da firma i é determinado pela seguinte equação: a+c+b p_{j}-2 p_{i}=0, onde a>0 é um parâmetro proveniente da demanda de mercado, c>0 é uma medida de custo das firmas e b \geq 0 mede o grau de substitutibilidade entre os bens.
(a) ( 1,0 ponto) Sabendo que, em equilíbrio, ambas as firmas comport am-se otimamente, encontre os preços p_{1} e p_{2} via regra de Cramer.
(b) ( 0,5 ponto) Qual condição deve ser impost a para que p_{1} e p_{2} estejam bem definidos?
(c) ( 0,5 ponto) Como os preços respondem a um aumento em b ?
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos duas firmas i=1,2 que escolhem preços p_i e cujas condições de lucro-ótimo são dadas por
a + c + b\,p_j - 2\,p_i = 0,
com a>0, c>0 e b\ge0. O objetivo é encontrar o equilíbrio de preços via sistema linear e regra de Cramer.
Passo 2
Reescrevemos as duas equações, uma para cada firma, isolando as variáveis no lado esquerdo:
2\,p_1 - b\,p_2 = a + c,
-\,b\,p_1 + 2\,p_2 = a + c.
Assim identificamos a matriz dos coeficientes e o vetor de constantes para aplicar a regra de Cramer.
Passo 3
Calculamos o determinante principal da matriz de coeficientes: