1. (2,0 pontos) Imagine duas firmas ( i=1,2 ) que competem em um mercado escolhendo cada uma o seu respectivo preço, p_{i}. O comportamento ótimo, maximizador de lucro, da firma i é determinado pela seguinte equação: a+c+b p_{j}-2 p_{i}=0, onde a>0 é um parâmetro proveniente da demanda de mercado, c>0 é uma medida de custo das firmas e b \geq 0 mede o grau de substitutibilidade entre os bens.
    (a) ( 1,0 ponto) Sabendo que, em equilíbrio, ambas as firmas comport am-se otimamente, encontre os preços p_{1} e p_{2} via regra de Cramer.
    (b) ( 0,5 ponto) Qual condição deve ser impost a para que p_{1} e p_{2} estejam bem definidos?
    (c) ( 0,5 ponto) Como os preços respondem a um aumento em b ?

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos duas firmas i=1,2 que escolhem preços p_i e cujas condições de lucro-ótimo são dadas por
a + c + b\,p_j - 2\,p_i = 0,
com a>0, c>0 e b\ge0. O objetivo é encontrar o equilíbrio de preços via sistema linear e regra de Cramer.

Passo 2

Reescrevemos as duas equações, uma para cada firma, isolando as variáveis no lado esquerdo:
2\,p_1 - b\,p_2 = a + c,
-\,b\,p_1 + 2\,p_2 = a + c.
Assim identificamos a matriz dos coeficientes e o vetor de constantes para aplicar a regra de Cramer.

Passo 3

Calculamos o determinante principal da matriz de coeficientes:
D = \begin{vmatrix}2 & -b \\\\ -b & 2\end{vmatrix} = 4 - b^2.
Substituindo a primeira coluna por \,(a+c,a+c)^T obtemos
D_1 = \begin{vmatrix}a+c & -b \\\ a+c & 2\end{vmatrix} = (a+c)\,(2 + b).
Logo,
p_1 = \frac{D_1}{D} = \frac{(a+c)\,(2 + b)}{4 - b^2}.
Por simetria do sistema, p_2 = p_1.

Passo 4

Para que p_1 e p_2 estejam bem definidos (solução única), precisamos de
D \neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 4 - b^2 \neq 0.
Como b\ge0, a condição prática é
b < 2.

Passo 5

Para analisar a resposta dos preços a um aumento em b, derivamos
\frac{\partial p_1}{\partial b} = \frac{(a+c)\bigl[(4 - b^2) - (2+b)(-2b)\bigr]}{(4 - b^2)^2} = \frac{(a+c)\,(4 + 4b + b^2)}{(4 - b^2)^2} > 0.
Portanto, tanto p_1 quanto p_2 aumentam quando b cresce.

Resposta

p_1 = p_2 = \displaystyle \frac{(a+c)\,(2 + b)}{4 - b^2}.
Condição para existência e unicidade: b < 2.
Os preços aumentam com o aumento de b.

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