1. ( 2,0 pontos) De acordo com a teoria do valor-trabalho, o valor de um bem é medido pelo número de horas socialmente necessárias para produzi-lo. Esse valor advém das horas empregadas na etapa de produção do bem e das horas incorporadas nos bens intermediários utilizados na sua produção. Assim, se a_{i j} é a quantidade do bem j utilizada na produção de uma unidade do bem i e v_{j} é o valor de uma unidade do bem j, então a_{i j} v_{j} é o valor do bem i derivado do bem j. Sendo assim, o valor de uma unidade do bem i proveniente dos seus insumos é dado por \sum_{j=1}^{n} a_{i j} v_{j}, onde n é o número de bens existentes na economia. Como o valor de uma unidade do bem i também depende do trabalho empregado na sua produção, denotado por \theta_{i}, temos que o valor de uma unidade do bem i é:
v_{i}=\sum_{j=1}^{n} a_{i j} v_{j}+\theta_{i}
para i=1, \ldots, n. Represente o sistema que define o valor dos bens na forma matricial e encontre uma expressão para \mathbf{v}=\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right). Qual condição deve ser satisfeit a para que \mathbf{v} esteja bem definido?

Passo 1

O enunciado diz que há n bens na economia e que o valor de cada bem i, denotado por v_i, é a soma do valor dos insumos mais o trabalho direto. Os insumos vêm de outros bens j na quantidade a_{ij} e cada unidade de j vale v_j, gerando \sum_{j=1}^n a_{ij}v_j, e o trabalho direto vale \theta_i. Logo temos o sistema linear
v_i \;=\;\sum_{j=1}^n a_{ij}v_j \;+\;\theta_i,
para i=1,\dots,n. O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares por meio de matrizes e inversão.

Passo 2

Definimos
\mathbf v=(v_1,\dots,v_n)^T,
\boldsymbol\theta=(\theta_1,\dots,\theta_n)^T
e a matriz de coeficientes técnicos
A = (a_{ij})_{i,j=1}^n.
Então o sistema v_i=\sum_j a_{ij}v_j+\theta_i se escreve em forma matricial como
\mathbf v \;=\; A\,\mathbf v \;+\;\boldsymbol\theta.
Rearranjando, obtemos
\mathbf v - A\,\mathbf v \;=\;\boldsymbol\theta \quad\Longrightarrow\quad (I - A)\,\mathbf v = \boldsymbol\theta.

Passo 3

Para isolar \mathbf v, assumimos que a matriz I - A é invertível. Então
\mathbf v \;=\;(I - A)^{-1}\,\boldsymbol\theta.
Essa é a expressão que dá o valor social de cada bem em função do vetor de trabalhos diretos \boldsymbol\theta.

Passo 4

A condição para \mathbf v estar bem definido é justamente que I - A seja invertível, isto é,
\det\bigl(I - A\bigr)\neq 0.
Em termos econômicos, exige-se que a matriz de coeficientes técnicos A não tenha autovalor igual a 1, ou equivalentemente que seu raio espectral seja menor que 1, garantindo a existência e unicidade de (I-A)^{-1}.

Resposta

\mathbf v = (I - A)^{-1}\,\boldsymbol\theta,
com a condição \det(I - A)\neq 0.

Exercícios relacionados