- ( 2,0 pontos) De acordo com a teoria do valor-trabalho, o valor de um bem é medido pelo número de horas socialmente necessárias para produzi-lo. Esse valor advém das horas empregadas na etapa de produção do bem e das horas incorporadas nos bens intermediários utilizados na sua produção. Assim, se
é a quantidade do bem
utilizada na produção de uma unidade do bem
e
é o valor de uma unidade do bem
, então
é o valor do bem
derivado do bem
. Sendo assim, o valor de uma unidade do bem
proveniente dos seus insumos é dado por
, onde
é o número de bens existentes na economia. Como o valor de uma unidade do bem
também depende do trabalho empregado na sua produção, denotado por
, temos que o valor de uma unidade do bem
é:
para
. Represente o sistema que define o valor dos bens na forma matricial e encontre uma expressão para
. Qual condição deve ser satisfeit a para que
esteja bem definido?
Passo 1
O enunciado diz que há
bens na economia e que o valor de cada bem
, denotado por
, é a soma do valor dos insumos mais o trabalho direto. Os insumos vêm de outros bens
na quantidade
e cada unidade de
vale
, gerando
, e o trabalho direto vale
. Logo temos o sistema linear
para
. O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares por meio de matrizes e inversão.
Passo 2
Definimos
,
e a matriz de coeficientes técnicos
e a matriz de coeficientes técnicos
Então o sistema
se escreve em forma matricial como
Rearranjando, obtemos
Passo 3
Para isolar
, assumimos que a matriz
é invertível. Então
Essa é a expressão que dá o valor social de cada bem em função do vetor de trabalhos diretos
.
Passo 4
A condição para
estar bem definido é justamente que
seja invertível, isto é,
Em termos econômicos, exige-se que a matriz de coeficientes técnicos
não tenha autovalor igual a
, ou equivalentemente que seu raio espectral seja menor que
, garantindo a existência e unicidade de
.
Resposta
com a condição
.