( 2,0 pontos) Imagine duas firmas
que competem em um mercado escolhendo cada uma a sua respectiva quantidade produzida,
. O comportamento ótimo, maximizador de lucro, da firma
é determinado pela seguinte equação:
, onde
é um parâmetro proveniente da demanda de mercado e
é uma medida de custo da firma
.
(a) (1,0 ponto) Sabendo que, em equilibrio, ambas as firmas comport am-se otimamente, encontre as quantidades produzidas,
e
, via regra de Cramer.
(b) ( 0,5 ponto) Que condição deve ser imposta para que, em equilibrio,
? Interprete.
(c) ( 0,5 ponto) Que condições devem ser impostas para que, em equilíbrio,
? Interprete.
(a) (1,0 ponto) Sabendo que, em equilibrio, ambas as firmas comport am-se otimamente, encontre as quantidades produzidas,
(b) ( 0,5 ponto) Que condição deve ser imposta para que, em equilibrio,
(c) ( 0,5 ponto) Que condições devem ser impostas para que, em equilíbrio,
Passo 1
O enunciado descreve um duopólio de Cournot com demanda linear e custo de firma
dado por
. A condição de ótimo de cada firma é
e precisamos resolver esse sistema linear
via regra de Cramer para encontrar
. Depois, achamos as condições para
e para simetria
.
Passo 2
Escrevemos as equações em forma matricial:
O determinante da matriz dos coeficientes é
Passo 3
Pelo método de Cramer, o numerador para
é
logo
Analogamente, o numerador para
é
portanto
Passo 4
Para que
devemos ter
Isso significa que a demanda (parâmetro
) e o custo da rival
devem ser suficientemente grandes em relação ao custo próprio
para a firma
produzir quantidade positiva.
Passo 5
Para
precisamos, além de
, da igualdade
e então
Ou seja, as firmas devem ter custos iguais e a demanda deve exceder esse custo comum.
Resposta
(a)
(b)
(c)