( 2,0 pontos) Imagine duas firmas (i=1,2) que competem em um mercado escolhendo cada uma a sua respectiva quantidade produzida, q_{i}. O comportamento ótimo, maximizador de lucro, da firma i é determinado pela seguinte equação: a-2 q_{i}-q_{j}-c_{i}=0, onde a>0 é um parâmetro proveniente da demanda de mercado e c_{i}>0 é uma medida de custo da firma i.
(a) (1,0 ponto) Sabendo que, em equilibrio, ambas as firmas comport am-se otimamente, encontre as quantidades produzidas, q_{1} e q_{2}, via regra de Cramer.
(b) ( 0,5 ponto) Que condição deve ser imposta para que, em equilibrio, q_{1}>0 ? Interprete.
(c) ( 0,5 ponto) Que condições devem ser impostas para que, em equilíbrio, q_{1}=q_{2}>0 ? Interprete.

Passo 1

O enunciado descreve um duopólio de Cournot com demanda linear e custo de firma i dado por c_i. A condição de ótimo de cada firma é
a - 2q_i - q_j - c_i = 0,\quad i\neq j,
e precisamos resolver esse sistema linear 2\times 2 via regra de Cramer para encontrar (q_1,q_2). Depois, achamos as condições para q_1>0 e para simetria q_1=q_2>0.

Passo 2

Escrevemos as equações em forma matricial:
\begin{cases} 2q_1 + q_2 = a - c_1,\\\ q_1 + 2q_2 = a - c_2. \end{cases}
O determinante da matriz dos coeficientes é
D = 2\cdot 2 - 1\cdot 1 = 3.

Passo 3

Pelo método de Cramer, o numerador para q_1 é
D_1 = (a - c_1)\cdot 2 - 1\cdot (a - c_2) = 2a - 2c_1 - a + c_2 = a - 2c_1 + c_2,
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q_1 = \frac{D_1}{D} = \frac{a - 2c_1 + c_2}{3}.
Analogamente, o numerador para q_2 é
D_2 = 2\cdot (a - c_2) - 1\cdot (a - c_1) = 2a - 2c_2 - a + c_1 = a + c_1 - 2c_2,
portanto
q_2 = \frac{a + c_1 - 2c_2}{3}.

Passo 4

Para que q_1>0 devemos ter
\frac{a - 2c_1 + c_2}{3} > 0 \quad\Longleftrightarrow\quad a - 2c_1 + c_2 > 0 \quad\Longleftrightarrow\quad a + c_2 > 2c_1.
Isso significa que a demanda (parâmetro a) e o custo da rival c_2 devem ser suficientemente grandes em relação ao custo próprio c_1 para a firma 1 produzir quantidade positiva.

Passo 5

Para q_1 = q_2 > 0 precisamos, além de q_1>0, da igualdade
a - 2c_1 + c_2 = a + c_1 - 2c_2 \quad\Longleftrightarrow\quad c_1 = c_2,
e então
q_1 = q_2 = \frac{a - c_1}{3} > 0 \quad\Longleftrightarrow\quad a > c_1.
Ou seja, as firmas devem ter custos iguais e a demanda deve exceder esse custo comum.

Resposta

(a) q_1 = \frac{a - 2c_1 + c_2}{3}, \quad q_2 = \frac{a + c_1 - 2c_2}{3}.
(b) a + c_2 > 2c_1.
(c) c_1 = c_2 \quad\text{e}\quad a > c_1.

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