- (3,0 pontos) Imagine uma firma que atua em dois mercados distintos. A demanda inversa do produto dessa firma no mercado
i=1,2 é dada por
p_{i}\left(q_{i}\right)=A_{i} f\left(q_{i}\right), onde
A_{i}>0 é um
parâmetro específico da demanda do
i-ésimo mercado e
q_{i} é a quantidade que a firma vende nesse mesmo mercado. Repare que
f é comum aos dois mercados. A função custo da firma é dada por
c(Q), onde
Q \equiv q_{1}+q_{2}. Assuma que
f e
c são funções duas vezes continuamente diferenciáveis. Além disso,
f^{\prime}\left(q_{i}\right)<0, c^{\prime}(Q)>0 e
c^{\prime \prime}(Q) \geq 0. Assim, o objetivo da firma é escolher as quantidades
q_{1}^{*} e
q_{2}^{*} que maximizam o seu lucro, que é dado pela seguinte função:
\pi\left(q_{1}, q_{2}\right)=A_{1} f\left(q_{1}\right) q_{1}+A_{2} f\left(q_{2}\right) q_{2}-c\left(q_{1}+q_{2}\right)
(a) (1,0 ponto) Encontre as condições de primeira ordem para maximização de lucro da firma.
(b) ( 1,0 ponto) Monte o hessiano da função objetivo e explique quais condições, se atendidas pelo hessiano, garantem que as quantidades que satisfazem as condições de primeira ordem do item (a) caracterizem um ponto de máximo global estrito.
(c) ( 1,0 ponto) Usando o teorema da função implícita e a regra de Cramer, encontre o impacto de um aumento marginal em
A_{2} sobre
q_{1}^{*} e
q_{2}^{*}. Qual o sinal desse impacto? Explique.