Para os seguintes vetores, determine se o produto interno é válido:
u . v=2 x_{1} x_{2}+5 y_{1} y_{2}, \quad \mathrm{~V}=\mathbb{R}^{2}

Passo 1

O enunciado define em V=\mathbb{R}^2 um produto candidato
\langle u,v\rangle = 2x_1x_2 + 5y_1y_2,
onde u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2). Para ser um produto interno, deve satisfazer:
  1. bilinearidade (linear em cada argumento),
  2. simetria,
  3. positividade definida.

Passo 2

Verificamos bilinearidade e simetria. Dado u=(x_1,y_1), v=(x_2,y_2), w=(x_3,y_3) e escalares \alpha,\beta, tem-se
\langle \alpha u+\beta v,\,w\rangle =2(\alpha x_1+\beta x_2)x_3+5(\alpha y_1+\beta y_2)y_3 =\alpha\langle u,w\rangle+\beta\langle v,w\rangle,
logo é linear em cada argumento. Também
\langle u,v\rangle=2x_1x_2+5y_1y_2 =\langle v,u\rangle,
portanto é simétrico.

Passo 3

Verificamos positividade definida:
\langle u,u\rangle =2x_1^2+5y_1^2.
Como 2>0 e 5>0, segue \langle u,u\rangle\ge0 e \langle u,u\rangle=0 somente se x_1=0 e y_1=0, isto é, u=0.

Resposta

Sim, \langle u,v\rangle =2x_1x_2+5y_1y_2 é um produto interno válido em \mathbb{R}^2.

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