As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, atribua um valor para x e um valor para y (quando houver y ) de forma que o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
(0,5 ponto )\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & x \\\\ 3 & y & 1\end{array}\right], infinitas soluções para qualquer \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).

Passo 1

O enunciado dá a matriz de coeficientes de um sistema 2\times3:
A=\begin{pmatrix} 1 & 4 & x\\\\ 3 & y & 1 \end{pmatrix},
queremos que, para todo \boldsymbol b\in\mathbb R^2, o sistema A\boldsymbol u=\boldsymbol b seja sempre consistente e tenha infinitas soluções. Isso ocorre se e somente se o posto de A satisfaz
\mathrm{rank}(A)=2<3.

Passo 2

Para ter \mathrm{rank}(A)=2, as duas linhas de A devem ser linearmente independentes. Basta exigir que algum menor 2\times2 seja não nulo. Por exemplo, o menor formado pelas colunas 1 e 2 é
\det\begin{pmatrix}1 & 4\\\ 3 & y\end{pmatrix} =1\cdot y - 3\cdot 4 =y-12.
Logo, precisamos de
y-12\neq0 \quad\Longrightarrow\quad y\neq12.

Passo 3

Não há restrição em x vinda desse menor: qualquer valor de x mantém a independência das linhas desde que y\neq12. Para simplificar, escolhemos x=0.

Passo 4

Tomando y\neq12 e x=0, temos de fato
\det\begin{pmatrix}1 & 4\\\ 3 & y\end{pmatrix} = y-12\neq0
e, portanto, \mathrm{rank}(A)=2. Como há 3 incógnitas, o sistema é sempre consistente (posto máximo) e subdeterminado (infinitas soluções).

Resposta

Um exemplo de escolha é x=0 y=0.

Exercícios relacionados