As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, atribua um valor para x e um valor para y (quando houver y ) de forma que o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas. (0,5 ponto )\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & x \\\\ 3 & y & 1\end{array}\right], infinitas soluções para qualquer \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).
Passo 1
O enunciado dá a matriz de coeficientes de um sistema 2\times3:
queremos que, para todo \boldsymbol b\in\mathbb R^2, o sistema A\boldsymbol u=\boldsymbol b seja sempre consistente e tenha infinitas soluções. Isso ocorre se e somente se o posto de A satisfaz
\mathrm{rank}(A)=2<3.
Passo 2
Para ter \mathrm{rank}(A)=2, as duas linhas de A devem ser linearmente independentes. Basta exigir que algum menor 2\times2 seja não nulo. Por exemplo, o menor formado pelas colunas 1 e 2 é