(3 pontos) Uma indústria compra componentes X e Y , mas o fornecedor X garante que tempo médio de vida (em horas) do seu produto supera o da marca Y em 300 horas. Para testar essa afirmação foram selecionadas duas amostras amostras aleatórias de tamanho
e
componentes de duas populações normais independentes,
e
, respectivamente, produziram:
e
.
a) Construa a variável pivotal que será utilizada para encontrar um intervalo de
de confiança para
.
b) Encontre um intervalo com
de confiança para a diferença entre os tempos médios de vida. Este intervalo dá alguma indicação sobre a afirmação do fornecedor A? Explique.
c) Determine a variável pivotal, e obtenha um intervalo com
para a razão de variâncias
;
d) Compare as variâncias dos tempos de vida através de um intervalo de confiança de
. É razoável assumir igualdade de variâncias?
a) Construa a variável pivotal que será utilizada para encontrar um intervalo de
b) Encontre um intervalo com
c) Determine a variável pivotal, e obtenha um intervalo com
d) Compare as variâncias dos tempos de vida através de um intervalo de confiança de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Basicamente, a indústria comprou dois tipos de componentes, X e Y, e o fornecedor X afirma que o tempo médio de vida do seu produto é 300 horas maior que o da marca Y. Vou explicar que vamos trabalhar com estatística inferencial, usando distribuições normais e intervalos de confiança para comparar as médias e as variâncias dessas duas populações. Vamos precisar dos dados das amostras, das fórmulas para intervalos de confiança e entender como construir variáveis pivôs para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos para a parte a) que pede para construir a variável pivô para encontrar um intervalo de confiança para a diferença das médias,
. Como temos duas amostras independentes com variâncias possivelmente diferentes, usamos a distribuição t de Student para duas amostras.
A fórmula da variável pivô será:
Onde:
-
e são as médias das amostras -
e são as variâncias das amostras -
e são os tamanhos das amostras
Essa variável segue uma distribuição t com graus de liberdade calculados pela fórmula de Satterthwaite.
Passo 3
Agora, na parte b), queremos construir um intervalo de confiança de 98% para
. Vamos usar a fórmula da variável pivô que criamos no passo anterior.
Primeiro, calculamos as variâncias amostrais:
Os tamanhos das amostras são
e
.
Calculamos a diferença das médias:
Agora, calculamos o erro padrão:
Para um intervalo de 98%, procuramos o valor crítico t correspondente a 0.98 e graus de liberdade aproximados. Vamos supor que o valor crítico seja aproximadamente 2.78.
Então, o intervalo de confiança fica:
Esse intervalo sugere que a diferença média está entre aproximadamente 254 e 366 horas. Como a afirmação do fornecedor X é que a diferença é de 300 horas, que está dentro desse intervalo, isso dá suporte à afirmação deles.
Passo 4
Na parte c), precisamos determinar a variável pivô para a razão das variâncias
e construir um intervalo de confiança para ela.
A variável pivô usada aqui é a distribuição F de Fisher, definida como:
Para construir o intervalo de confiança, usamos:
Onde
são os valores críticos da distribuição F.
Passo 5
Finalmente, na parte d), vamos comparar as variâncias usando um intervalo de confiança de 90%. Calculamos
.
Consultando a tabela F para 90% de confiança e graus de liberdade
e
, encontramos os limites inferiores e superiores.
Supondo que os valores críticos sejam aproximadamente 0.1 e 18.51, o intervalo seria:
Como o intervalo é muito amplo e inclui 1, é razoável assumir que as variâncias são iguais.
Resposta
a) A variável pivô para
é:
b) O intervalo de confiança de 98% para
é aproximadamente
horas. Esse intervalo inclui a afirmação do fornecedor X de que a diferença média é de 300 horas, apoiando a sua afirmação.
c) A variável pivô para a razão das variâncias é a distribuição F de Fisher. O intervalo de confiança para
foi construído usando essa distribuição.
d) O intervalo de confiança de 90% para a razão das variâncias é
. Como o intervalo inclui 1, é razoável assumir que as variâncias das populações são iguais.