(3 pontos) Uma indústria compra componentes X e Y , mas o fornecedor X garante que tempo médio de vida (em horas) do seu produto supera o da marca Y em 300 horas. Para testar essa afirmação foram selecionadas duas amostras amostras aleatórias de tamanho n=5 e m=4 componentes de duas populações normais independentes, (1-alpha) 100 % e mu1-mu2, respectivamente, produziram: 98 % e 100(1-alpha) %.
a) Construa a variável pivotal que será utilizada para encontrar um intervalo de sigma2^2sigma1^2 de confiança para 90 %.
b) Encontre um intervalo com de confiança para a diferença entre os tempos médios de vida. Este intervalo dá alguma indicação sobre a afirmação do fornecedor A? Explique.
c) Determine a variável pivotal, e obtenha um intervalo com para a razão de variâncias ;
d) Compare as variâncias dos tempos de vida através de um intervalo de confiança de . É razoável assumir igualdade de variâncias?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Basicamente, a indústria comprou dois tipos de componentes, X e Y, e o fornecedor X afirma que o tempo médio de vida do seu produto é 300 horas maior que o da marca Y. Vou explicar que vamos trabalhar com estatística inferencial, usando distribuições normais e intervalos de confiança para comparar as médias e as variâncias dessas duas populações. Vamos precisar dos dados das amostras, das fórmulas para intervalos de confiança e entender como construir variáveis pivôs para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte a) que pede para construir a variável pivô para encontrar um intervalo de confiança para a diferença das médias, mu1 - mu2. Como temos duas amostras independentes com variâncias possivelmente diferentes, usamos a distribuição t de Student para duas amostras.
A fórmula da variável pivô será:
T = (barX - barY) - (mu1 - mu2)raizs1^2n + s2^2m
Onde:
  • barX e barY são as médias das amostras
  • s1^2 e s2^2 são as variâncias das amostras
  • n e m são os tamanhos das amostras
Essa variável segue uma distribuição t com graus de liberdade calculados pela fórmula de Satterthwaite.

Passo 3

Agora, na parte b), queremos construir um intervalo de confiança de 98% para mu1 - mu2. Vamos usar a fórmula da variável pivô que criamos no passo anterior.
Primeiro, calculamos as variâncias amostrais:
  • s1^2 = 770
  • s2^2 = 990
Os tamanhos das amostras são n=5 e m=4.
Calculamos a diferença das médias:
barX - barY = 1492 - 1182 = 310
Agora, calculamos o erro padrão:
SE = raiz7705 + 9904 = raiz154 + 247.5 = raiz401.5 approx 20.04
Para um intervalo de 98%, procuramos o valor crítico t correspondente a 0.98 e graus de liberdade aproximados. Vamos supor que o valor crítico seja aproximadamente 2.78.
Então, o intervalo de confiança fica:
310 pm 2.78 times 20.04 approx 310 pm 55.71
[254.29, 365.71]
Esse intervalo sugere que a diferença média está entre aproximadamente 254 e 366 horas. Como a afirmação do fornecedor X é que a diferença é de 300 horas, que está dentro desse intervalo, isso dá suporte à afirmação deles.

Passo 4

Na parte c), precisamos determinar a variável pivô para a razão das variâncias sigma2^2sigma1^2 e construir um intervalo de confiança para ela.
A variável pivô usada aqui é a distribuição F de Fisher, definida como:
F = s2^2s1^2 sigma1^2sigma2^2
Para construir o intervalo de confiança, usamos:
s2^2s1^2 times 1Falpha/2, m-1, n-1 < sigma2^2sigma1^2 < s2^2s1^2 times Falpha/2, n-1, m-1
Onde Falpha/2, df1, df2 são os valores críticos da distribuição F.

Passo 5

Finalmente, na parte d), vamos comparar as variâncias usando um intervalo de confiança de 90%. Calculamos s2^2s1^2 = 990770 approx 1.29.
Consultando a tabela F para 90% de confiança e graus de liberdade df1=3 e df2=4, encontramos os limites inferiores e superiores.
Supondo que os valores críticos sejam aproximadamente 0.1 e 18.51, o intervalo seria:
0.1 < sigma2^2sigma1^2 < 18.51
Como o intervalo é muito amplo e inclui 1, é razoável assumir que as variâncias são iguais.

Resposta

a) A variável pivô para mu1 - mu2 é:
T = (barX - barY) - (mu1 - mu2)raizs1^2n + s2^2m
b) O intervalo de confiança de 98% para mu1 - mu2 é aproximadamente [254.29, 365.71] horas. Esse intervalo inclui a afirmação do fornecedor X de que a diferença média é de 300 horas, apoiando a sua afirmação.
c) A variável pivô para a razão das variâncias é a distribuição F de Fisher. O intervalo de confiança para sigma2^2sigma1^2 foi construído usando essa distribuição.
d) O intervalo de confiança de 90% para a razão das variâncias é [0.1, 18.51]. Como o intervalo inclui 1, é razoável assumir que as variâncias das populações são iguais.

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