Seja X uma v. a. contínua com a função densidade de probabilidade:
Encontrar a esperança e a variância de X.
Encontrar a esperança e a variância de X.
Passo 1
Beleza, o exercício diz que X é uma variável aleatória contínua com densidade
O que a gente quer é a esperança
e a variância
.
Para isso vamos usar:
Para isso vamos usar:
-
. -
. -
.
Também vale relembrar quee que a integral de soma é soma das integrais.
Passo 2
Vamos primeiro conferir que a densidade soma 1 (só pra ficar de boa):
Tudo certo. Agora vem a esperança:
Separamos em três inteiras:
Somando:
.
Logo
Logo
Passo 3
Agora calculamos
:
Cada pedaço:
Somando em fração:
Então
Somando em fração:
Então
Passo 4
Por fim, a variância é
Resposta
Esperança:
Variância:
Variância: