Seja X uma v. a. contínua com a função densidade de probabilidade:

Encontrar a esperança e a variância de X.

Passo 1

Beleza, o exercício diz que X é uma variável aleatória contínua com densidade
f(x)= 121(x+1)^2, & 0 <= x < 3, 0, &caso contrário á
O que a gente quer é a esperança e a variância .
Para isso vamos usar:
  1. .
  2. .
  3. .
    Também vale relembrar que e que a integral de soma é soma das integrais.

Passo 2

Vamos primeiro conferir que a densidade soma 1 (só pra ficar de boa):
integral0^3 f(x),dx = integral0^3 121(x+1)^2,dx = 121,l[(x+1)^33r]0^3 = 121,l(tfrac4^3-1^33r) = 121,633 =1
Tudo certo. Agora vem a esperança:
E[X] = integral0^3 x,f(x),dx = 121integral0^3 x,(x+1)^2,dx = 121integral0^3(x^3+2x^2+x),dx
Separamos em três inteiras:
integral0^3x^3dx=3^44=814, integral0^32x^2dx=2cdot3^33=18, integral0^3x,dx=3^22=92
Somando: E[X] = 121,1714 = 17184 = 5728approx 2,0357 .
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Passo 3

Agora calculamos E[X^2] = integral0^3 x^2,f(x),dx = 121integral0^3x^2(x+1)^2,dx = 121integral0^3(x^4+2x^3+x^2),dx :
E[X^2] = 121,98110 = 981210 = 32770 approx 4,6714
Cada pedaço:



Somando em fração:
Então

Passo 4

Por fim, a variância é
Var(X) = E[X^2] - l(E[X]r)^2 = 32770 ;-;l(5728r)^2 = 32770 - 3249784 = 20673920 approx 0,5273

Resposta

Esperança:
Variância:

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