. (20 pontos) Considere um triângulo A B C. Seja M o ponto médio do lado \overline{B C}. Se \overrightarrow{A B}=(5,6,-1) e \overrightarrow{C A}=(-1,0,-3), calcule as componentes dos vetores \overrightarrow{B M} e \overrightarrow{A M}.

Passo 1

O enunciado considera um triângulo ABC e pede dois vetores: \overrightarrow{BM} e \overrightarrow{AM}, em que M é o ponto médio de \overline{BC}. Temos dados
\overrightarrow{AB}=(5,6,-1) e \overrightarrow{CA}=(-1,0,-3). Para resolver, vamos usar operações básicas de vetores em componentes e a definição de ponto médio.

Passo 2

Primeiro achamos \overrightarrow{BC}. Como
\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC},
sabendo que \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{CA}, temos
\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CA} =-(5,6,-1)-(-1,0,-3).
Então
\overrightarrow{BC}=(-5,-6,1)+(1,0,3)=(-4,-6,4).

Passo 3

Como M é o ponto médio de \overline{BC}, o vetor de B até M vale metade de \overrightarrow{BC}. Logo,
\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\,\overrightarrow{BC} =\frac{1}{2}(-4,-6,4)=(-2,-3,2).

Passo 4

Para obter \overrightarrow{AM}, basta somar \overrightarrow{AB} com \overrightarrow{BM}, porque A\to M é A\to B mais B\to M:
\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM} =(5,6,-1)+(-2,-3,2)=(3,3,1).

Resposta

\displaystyle \overrightarrow{BM}=(-2,-3,2)
\displaystyle \overrightarrow{AM}=(3,3,1)

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