Verifique se cada uma das aplicações abaixo é uma transformação linear:
M: P_{2}(\mathbb{C}) \rightarrow P_{3}(\mathbb{C}) dada por M\left(a x^{2}+b x+c\right)=a x^{3}+b x^{2}+c x

Passo 1

O enunciado define a aplicação M\colon P_{2}(\mathbb{C}) \to P_{3}(\mathbb{C}) dada por
M\bigl(a x^{2}+b x+c\bigr)=a x^{3}+b x^{2}+c x.
Queremos verificar se M é linear, isto é, se satisfaz aditividade
M(p+q)=M(p)+M(q)
e homogeneidade
M(\alpha p)=\alpha\,M(p)
para todo p,q\in P_{2}(\mathbb{C}) e todo \alpha\in\mathbb{C}.

Passo 2

Verificação da aditividade. Sejam p(x)=a x^{2}+b x+c e q(x)=A x^{2}+B x+C. Então
p(x)+q(x)=(a+A)x^{2}+(b+B)x+(c+C),
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M\bigl(p+q\bigr) =(a+A)x^{3}+(b+B)x^{2}+(c+C)x =a x^{3}+b x^{2}+c x + A x^{3}+B x^{2}+C x.
Por outro lado,
M(p)+M(q) =\bigl(a x^{3}+b x^{2}+c x\bigr) +\bigl(A x^{3}+B x^{2}+C x\bigr)
e vemos que
M(p+q)=M(p)+M(q).

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Seja \alpha\in\mathbb{C} e p(x)=a x^{2}+b x+c. Então
\alpha\,p(x)=\alpha a\,x^{2}+\alpha b\,x+\alpha c
e
M\bigl(\alpha p\bigr) =(\alpha a)x^{3}+(\alpha b)x^{2}+(\alpha c)x =\alpha\bigl(a x^{3}+b x^{2}+c x\bigr) =\alpha\,M(p).

Passo 4

Como M satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que é uma transformação linear.

Resposta

Sim. M é uma transformação linear.

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