(4 pontos) Leia com atenção o enunciado abaixo e classifique as sentenças em verdadeiras (V) ou falsas (F), justificando todas as respostas:
b) ( ) Se R>0 é o raio de convergência de sumn=0^+infty an x^n, então raiz[3]R é o raio de convergência de sumn=0^+infty an x^3 n.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a afirmação “se $R>0$ é o raio de convergência de R>0, então $\sqrt[3]{R}$ é o raio de convergência de raiz[3]R”. O conteúdo envolve séries de potências e raio de convergência; precisaremos da definição de raio e do teste da raiz (fórmula de Cauchy–Hadamard).

Passo 2

Lembrando que para a série R>0 com raio $R>0$ vale a fórmula de Cauchy–Hadamard:
$$
R = \frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}}.
$$

Passo 3

Observamos a série y = x^3 como uma série em $y = x^3$: fica |y|, que converge se $|y|<R$. Logo a condição é $|x^3|<R$, ou seja $|x|<R^{1/3}$. Isso sugere que o novo raio em $x$ é |x^3|.

Passo 4

Para ser rigoroso, aplicamos novamente Cauchy–Hadamard aos coeficientes $b_m$ da nova série, onde $b_{3n}=a_n$ e $b_m=0$ se $m$ não é múltiplo de 3. Então
$$
\limsup_{m\to\infty}|b_m|^{1/m} = \limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/(3n)} = \bigl(\limsup_{n\to\infty}|a_n|{1/n}\bigr){1/3}.
$$
Portanto o novo raio é
$$
R’ = \frac{1}{\limsup_{m\to\infty}|b_m|^{1/m}} = \bigl(\tfrac{1}{\limsup|a_n|{1/n}}\bigr){1/3} = R^{1/3}.
$$

Resposta

V

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