(4 pontos) Leia com atenção o enunciado abaixo e classifique as sentenças em verdadeiras (V) ou falsas (F), justificando todas as respostas:
b) (
) Se
é o raio de convergência de
, então
é o raio de convergência de
.
b) (
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a afirmação “se $R>0$ é o raio de convergência de
, então $\sqrt[3]{R}$ é o raio de convergência de
”. O conteúdo envolve séries de potências e raio de convergência; precisaremos da definição de raio e do teste da raiz (fórmula de Cauchy–Hadamard).
Passo 2
Lembrando que para a série
com raio $R>0$ vale a fórmula de Cauchy–Hadamard:
$$
R = \frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}}.
$$
R = \frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}}.
$$
Passo 3
Observamos a série
como uma série em $y = x^3$: fica
, que converge se $|y|<R$. Logo a condição é $|x^3|<R$, ou seja $|x|<R^{1/3}$. Isso sugere que o novo raio em $x$ é
.
Passo 4
Para ser rigoroso, aplicamos novamente Cauchy–Hadamard aos coeficientes $b_m$ da nova série, onde $b_{3n}=a_n$ e $b_m=0$ se $m$ não é múltiplo de 3. Então
$$
\limsup_{m\to\infty}|b_m|^{1/m} = \limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/(3n)} = \bigl(\limsup_{n\to\infty}|a_n|{1/n}\bigr){1/3}.
$$
\limsup_{m\to\infty}|b_m|^{1/m} = \limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/(3n)} = \bigl(\limsup_{n\to\infty}|a_n|{1/n}\bigr){1/3}.
$$
Portanto o novo raio é
$$
R’ = \frac{1}{\limsup_{m\to\infty}|b_m|^{1/m}} = \bigl(\tfrac{1}{\limsup|a_n|{1/n}}\bigr){1/3} = R^{1/3}.
$$
R’ = \frac{1}{\limsup_{m\to\infty}|b_m|^{1/m}} = \bigl(\tfrac{1}{\limsup|a_n|{1/n}}\bigr){1/3} = R^{1/3}.
$$
Resposta
V