Calcule as seguintes integrais duplas sobre retângulos.
Passo 1
Quero calcular
em
. O conteúdo aqui é integração dupla e uso da antiderivada de
, que leva à função
.
Passo 2
Note que
. Para integrar em
, faço
, de modo que
. Quando
,
; quando
,
. Então a integral interna vira
.
Passo 3
A integral dupla fica então
Passo 4
A antiderivada de
é
Então aplico nos intervalos
$$
\int_{1}^{2}\arctan(x+1),dx = \int_{2}^{3}\arctan(u),du = \bigl[u\arctan(u) - \tfrac12\ln(1+u2)\bigr]_{2}{3}
$$
Passo 5
Substituindo e simplificando os termos de
e de logaritmo, obtenho