Calcule as seguintes integrais duplas sobre retângulos.
integral duplaR 11+x^2+2 x y+y^2 d A, R=[1,2] times[0,1]

Passo 1

Quero calcular integral duplaR 11 + x^2 + 2xy + y^2 , dA em R = [1,2] times [0,1]. O conteúdo aqui é integração dupla e uso da antiderivada de 1/(1+u^2), que leva à função arctan(u).

Passo 2

Note que 1 + x^2 + 2xy + y^2 = 1 + (x+y)^2. Para integrar em y, faço t = x + y, de modo que dt = dy. Quando y=0, t=x; quando y=1, t = x+1. Então a integral interna vira integralt=x^x+1 11+t^2 , dt = arctan(x+1) - arctan(x).

Passo 3

A integral dupla fica então
integralx=1^2l[arctan(x+1)-arctan(x)r],dx = integral1^2arctan(x+1),dx - integral1^2arctan(x),dx

Passo 4

A antiderivada de arctan(u) é
uarctan(u) - tfrac12lnl(1+u^2r)
Então aplico nos intervalos
$$
\int_{1}^{2}\arctan(x+1),dx = \int_{2}^{3}\arctan(u),du = \bigl[u\arctan(u) - \tfrac12\ln(1+u2)\bigr]_{2}{3}
$$
integral1^2arctan(x+1),dx = integral2^3arctan(u),du = l[uarctan(u) - tfrac12ln(1+u^2)r]2^3

Passo 5

Substituindo e simplificando os termos de arctan e de logaritmo, obtenho
3arctan(3)-4arctan(2)+tfracpi4+tfrac12lnl(tfrac54r)

Resposta

3arctan(3)-4arctan(2)+tfracpi4+tfrac12ln54

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