( 2,0 pontos) Um mergulhador no mar se encontra em uma profundidade de 25 m por onde passa uma corrente de água fria de temperatura 4^{\circ} \mathrm{C}. Devido à força de empuxo uma bolha de ar expelida pelo mergulhador se desloca até a superfície, onde a temperatura da água é 10^{\circ} \mathrm{C}. Supondo que o calor específico a volume constante do ar na bolha é C_{V}=\frac{7}{2} R, determine:
(a) o volume V_{f} da bolha, em função do seu volume inicial V_{i}, ao atingir a superfície;
(b) a variação da energia interna por mol de ar, \Delta E_{\text {int }} / n, da bolha;
(c) o trabalho por mol de ar, W / n, realizado pelo ar dentro da bolha durante a subida;
(d) o calor por mol de ar, Q / n, absorvido pela bolha até chegar a superfície.
Observação 1: Utilize que a pressão varia como p=p_{0}+\rho g y com p_{0}=1,01 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}, \rho=1,000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, g=9,80 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, e y é a profundidade. Demais equações necessárias estão na próxima página.
Observação 2: Suponha que o ar dentro da bolha se comporta como um gás ideal com um número de moléculas constante.
Observação 3: Para estimar o trabalho realizado pela bolha aproxime a temperatura do ar na bolha durante a subida pela média aritmética das temperaturas inicial e final.

Passo 1

O enunciado fala de uma bolha de ar que sobe de uma profundidade y=25,m até a superfície ( y=0), mudando de temperatura de T_i=4{}^\circ\mathrm{C}=277,K para T_f=10{}^\circ\mathrm{C}=283,K, e de pressão de
p_i = p_0 + \rho g y,\quad p_f = p_0,
com p_0=1{,}01\times10^5,Pa, \rho=1{,}00\times10^3,kg/m³, g=9{,}80,m/s².
Vamos usar:
  1. A lei dos gases ideais pV/(nT)=R para achar V_f.
  2. A primeira lei da termodinâmica \Delta U = Q - W.
  3. \Delta U = n C_V \Delta T com C_V=\tfrac72R.
  4. Aproximação do trabalho W como processo em temperatura média T_{\rm m}=(T_i+T_f)/2, dando
W \approx nR\,T_{\rm m}\ln\frac{V_f}{V_i}.

Passo 2

(a) Como p_iV_i/T_i = p_fV_f/T_f, vem
V_f = V_i\,\frac{p_i}{p_f}\,\frac{T_f}{T_i}.
Substituindo
p_i = 1{,}01\times10^5 + (1{,}00\times10^3)(9{,}80)(25) =3{,}46\times10^5\;\mathrm{Pa},\quad p_f=1{,}01\times10^5\;\mathrm{Pa},
e T_i=277,K, T_f=283,K, obtemos
\frac{V_f}{V_i} = \frac{3{,}46\times10^5}{1{,}01\times10^5}\,\frac{283}{277} \approx3{,}50.

Passo 3

(b) A variação de energia interna por mol é
\frac{\Delta E_{\rm int}}{n} = C_V\,(T_f - T_i) = \frac{7}{2}R\,(283 - 277) =21R \approx21\times8{,}314 \approx174{,}6\;\mathrm{J/mol}.

Passo 4

(c) Aproximando a temperatura do ar por
T_{\rm m} = \frac{T_i + T_f}{2} = \frac{277 + 283}{2} =280\;\mathrm{K},
o trabalho por mol é
\frac{W}{n} \approx R\,T_{\rm m}\,\ln\!\biggl(\frac{V_f}{V_i}\biggr) =8{,}314\times280\times\ln(3{,}50) \approx2{,}92\times10^3\;\mathrm{J/mol}.

Passo 5

(d) Pela primeira lei \Delta U = Q - W, logo
\frac{Q}{n} = \frac{\Delta U}{n} + \frac{W}{n} \approx174{,}6 + 2916 \approx3090\;\mathrm{J/mol}.

Resposta

(a) \displaystyle V_f = V_i\,\frac{p_i}{p_f}\,\frac{T_f}{T_i}\approx3{,}50\,V_i.
(b) \displaystyle \frac{\Delta E_{\rm int}}{n}=174{,}6\;\mathrm{J/mol}.
(c) \displaystyle \frac{W}{n}\approx2{,}92\times10^3\;\mathrm{J/mol}.
(d) \displaystyle \frac{Q}{n}\approx3{,}09\times10^3\;\mathrm{J/mol}.

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