( 3,0 pontos) Uma pulseira de 120,0 \mathrm{~g} com metade de sua massa sendo de ouro e a outra metade de prata é aquecida em um forno até que sua temperatura chegue a T_{\text {pulseira }}=200^{\circ} \mathrm{C}. Em seguida, a pulseira é colocada em um recipiente feito de um material isolante contendo 200,0 \mathrm{~g} de água a uma temperatura T_{\text {água }}=0,0^{\circ} \mathrm{C}á.
(a) Descreva como ocorre a transferência de calor no sistema? Justifique.
(b) Qual é a temperatura final do sistema água e pulseira?
(c) A variação da entropia da pulseira.
(d) A variação da entropia da água.
(e) A variação total de entropia do sistema
(f) O resultado do item anterior é esperado? Justifique.
O calor específico de cada material é:
c_{\text {pagua }}=4186 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}), c_{\text {ouro }}=238,6 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}), c_{\text {prata }}=125,6 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}).
Observação 1: O recipiente é isolante e, logo, não troca calor nem com a água e nem com a pulseira.
Observação 2: Não há variação de entropia fora do recipiente por este ser isolante.
Observação 3: ignore quaisquer variações nos volumes de água e da pulseira para os seus cálculos.

Passo 1

O enunciado traz uma pulseira de massa total 0,120\\ \mathrm{kg}, com metade dessa massa de ouro e metade de prata, aquecida até 200^\circ\mathrm{C}, que é colocada num recipiente adiabático contendo 0,200\\ \mathrm{kg} de água a 0^\circ\mathrm{C}. Precisamos usar calorimetria (conservação de energia) para achar a temperatura final e depois calcular variações de entropia via \Delta S=\int \frac{dQ_{\mathrm{rev}}}{T}.

Passo 2

(a) Como a pulseira está mais quente que a água, o calor flui espontaneamente da pulseira para a água até que ambas atinjam a mesma temperatura. O recipiente é isolante, então não há troca de calor com o ambiente; todo o calor perdido pela pulseira é ganho pela água.

Passo 3

(b) Conservação de energia ( Q_{\text{perdido}}+Q_{\text{ganho}}=0):
Q_{\text{ouro}}+Q_{\text{prata}}+Q_{\text{água}}=0.á
Com m_{\text{ouro}}=m_{\text{prata}}=0,06\\ \mathrm{kg} e m_{\text{água}}=0,20\\ \mathrm{kg}á, e usando \Delta Q=m c\,\Delta T, temos
\bigl(0,06\cdot238{,}6+0,06\cdot125{,}6\bigr)\,(200 - T_f) =0,20\cdot4186\,(T_f - 0).
Isso dá
21{,}852\,(200 - T_f)=837{,}2\,T_f \quad\Rightarrow\quad\nT_f\approx5{,}09^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

(c) Para a pulseira, \Delta S=\sum m\,c\ln\frac{T_f}{T_i}. Em Kelvin, T_{i}=200+273{,}15=473{,}15\\ \mathrm{K} e T_f=5{,}09+273{,}15=278{,}24\\ \mathrm{K}. Então
\Delta S_{\text{ouro}} =0,06\cdot238{,}6\ln\frac{278{,}24}{473{,}15}\approx14{,}316\cdot(-0{,}5306) =-7{,}60\\ \mathrm{J/K},
\Delta S_{\text{prata}} =0,06\cdot125{,}6\ln\frac{278{,}24}{473{,}15}\approx7{,}536\cdot(-0{,}5306) =-3{,}99\\ \mathrm{J/K},
\Delta S_{\text{pulseira}} =\Delta S_{\text{ouro}}+\Delta S_{\text{prata}} \approx-11{,}6\\ \mathrm{J/K}.

Passo 5

(d) Para a água, T_i=0^\circ\mathrm{C}=273{,}15\\ \mathrm{K}, logo
\Delta S_{\text{água}} =0,20\cdot4186\ln\frac{278{,}24}{273{,}15} =837{,}2\ln(1{,}0185) \approx15{,}3\\ \mathrm{J/K}.á

Passo 6

(e) A variação total de entropia do sistema isolado é
\Delta S_{\text{total}} =\Delta S_{\text{pulseira}}+\Delta S_{\text{água}} \approx(-11{,}6)+(15{,}3)=3{,}7\\ \mathrm{J/K}.á

Passo 7

(f) O resultado \Delta S_{\text{total}}>0 é esperado, pois o processo de troca de calor espontânea entre corpos a temperaturas diferentes é irreversível e deve aumentar a entropia total, de acordo com a segunda lei da termodinâmica.

Resposta

(a) O calor flui da pulseira (mais quente) para a água (mais fria) até atingirem equilíbrio térmico, sem troca com o ambiente, pois o recipiente é isolante.
(b) T_f\approx5{,}09^\circ\mathrm{C}.
(c) \Delta S_{\text{pulseira}}\approx-11{,}6\\ \mathrm{J/K}.
(d) \Delta S_{\text{água}}\approx+15{,}3\\ \mathrm{J/K}.á
(e) \Delta S_{\text{total}}\approx+3{,}7\\ \mathrm{J/K}.
(f) Sim. Como o processo é espontâneo e irreversível, a entropia total do sistema isolado aumenta.

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