(5,0 pontos) Um litro de um gás ideal de capacidades térmicas C_{V}=5 R / 2 e C_{P}=7 R / 2 se encontra em um estado termodinâmico A com pressão de 1,00 \mathrm{~atm} e temperatura 53,0^{\circ} \mathrm{C}. O gás então expande adiabaticamente até um estado B cujo volume é o dobro do volume inicial. Após este processo, o gás é comprimido a pressão constante até um estado termodinâmico C com volume de um litro. Finalmente, o gás passa por mais um processo termodinâmico, agora com seu volume mantido constante em um litro até retornar ao estado inicial A.
(a) Faça um esboço do diagrama P-V (pressão em função do volume do gás) para as transformações descritas.
(b) Esse gás pode ser um gás monoatômico? Justifique sua resposta.
(c) Determine a temperatura do gás nos estados B e C.
(d) Quantos moles estão presente no gás?
(e) Qual é o trabalho total W_{\text {total }} realizado pelo gás durante o ciclo?
(f) Qual é variação da energia interna do gás em cada processo termodinâmico?
(g) Qual é calor absorvido ( Q_{Q} ) e perdido ( Q_{F} ) pelo gás durante o ciclo?
(h) Qual é a eficiência \epsilon_{A B C}=\left(W_{\text {total }} / Q_{\mathrm{Q}}\right) do ciclo? Aqui Q_{Q} é o calor absorvido durante o ciclo.
(i) Como a eficiência \epsilon_{A B C} do ciclo se compara com a do ciclo de Carnot \epsilon_{\text {Carnot }} ? Este resultado é esperado? Para determinar \epsilon_{\text {Carnot }} use a temperatura da fonte fria T_{F}=T_{C} (temperatura em C encontrada acima) e da fonte quente por T_{Q}=T_{A} (temperatura em A encontrada acima).
Conversão de temperatura T_{\mathrm{K}}=T{ }_{\circ} \mathrm{C}+273
Equação do gás ideal p_{i} V_{i}=n R T_{i}
Constante dos gases ideais R=8,314 \mathrm{~J} /(\mathrm{K} \cdot \mathrm{mol})
Primeira Lei da Termodinâmica \Delta E_{\text {int }}=Q-W
Calorimetria \begin{aligned} & Q=m c \Delta T \\\ & Q_{\text {água }}+Q_{\text {prata }}+Q_{\text {ouro }}=0 \end{aligned}á
Variação da Entropia \Delta S=m c \ln \left(T_{f} / T_{i}\right)
Variação da energia interna de um gás \Delta E_{\text {int }}=n C_{V} \Delta T
Processos adiabáticos \begin{aligned} & p V^{\gamma}=\text { constante } \\\ & T V^{\gamma-1}=\text { constante } \end{aligned}
Trabalho de um processo termodinâmico: W=\int p d V
Temperatura constante T W_{i \rightarrow f}=n R T \ln \left(V_{f} / V_{i}\right)
Pressão constante p W_{i \rightarrow f}=p\left(V_{f}-V_{i}\right)
Volume constante V W_{i \rightarrow f}=0
Adiabático W_{i \rightarrow f}=-n C_{V} \Delta T
Eficiência do ciclo de Carnot \epsilon_{\text {Carnot }}=1-\left(T_{F} / T_{Q}\right)
Calor específico e coeficiente adiabático de um gás \begin{aligned} & C_{V}=\frac{f}{2} R \\\ & C_{P}=C_{V}+1 \\\ & \gamma=\frac{C_{P}}{C_{V}} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado descreve um ciclo termodinâmico para um gás ideal de capacidades térmicas \displaystyle C_{V}=\tfrac{5R}{2} e \displaystyle C_{P}=\tfrac{7R}{2}, que passa por três processos sequenciais:
1. Expansão adiabática A\to B até V_{B}=2V_{A}.
2. Compressão isobárica B\to C até V_{C}=V_{A}.
3. Aquecimento isocórico C\to A até retornar ao estado A.
As grandezas iniciais em A são
p_{A}=1{,}00\\ \mathrm{atm},\quad T_{A}=53{,}0\,^{\circ}\mathrm{C}=326{,}0\\ \mathrm{K},\quad V_{A}=1{,}00\\ \mathrm{L}.
O que se pede nos itens (a)–(i) inclui desde o esboço no diagrama P- V até a eficiência do ciclo e sua comparação com o ciclo de Carnot.

Passo 2

(a) Esboço de P vs.\ V:
– De A a B: curva adiabática descendente pV^\gamma=\text{const}.
– De B a C: reta horizontal a p=p_{B} (compressão isobárica) de V_{B}=2V_{A} até V_{C}=V_{A}.
– De C a A: reta vertical a V=V_{A} (aquecimento isocórico) de p_{C} até p_{A}.

Passo 3

(b) Um gás monoatômico teria \displaystyle C_{V}=\tfrac{3R}{2}. Como aqui \displaystyle C_{V}=\tfrac{5R}{2}, o gás não pode ser monoatômico.

Passo 4

(c) Cálculo de T_{B} e T_{C}.
Para a adiabática A\to B vale
T_{B}\,V_{B}^{\gamma-1}=T_{A}\,V_{A}^{\gamma-1}, \quad \gamma=\frac{C_{P}}{C_{V}}=\frac{7/2}{5/2}=\frac{7}{5}=1{,}4.
Como V_{B}=2V_{A},
T_{B}=T_{A}\,(V_{A}/V_{B})^{\gamma-1} =326{,}0\,(1/2)^{0{,}4}=247{,}1\\ \mathrm{K}.
Na isobárica B\to C ( p_{C}=p_{B} e V_{C}=V_{A}=\tfrac12V_{B} ) a temperatura varia como T\propto V, logo
T_{C}=T_{B}\,\frac{V_{C}}{V_{B}} =247{,}1\cdot\frac12=123{,}6\\ \mathrm{K}.

Passo 5

(d) Número de mols n em A pela equação de estado
p_{A}V_{A}=nRT_{A} \quad\Longrightarrow\quad n=\frac{p_{A}V_{A}}{R\,T_{A}} =\frac{1{,}013\times10^{5}\cdot1{,}00\times10^{-3}}{8{,}314\cdot326{,}0} =0{,}03735\\ \mathrm{mol}.

Passo 6

(e) Trabalho em cada processo e total:
1. Adiabático A\to B: Q=0, pela 1.ª lei \Delta E_{\rm int}=-W, mas \Delta E_{\rm int}=nC_{V}(T_{B}-T_{A}), então
W_{AB}=-\Delta E_{\rm int} =-nC_{V}(T_{B}-T_{A}) =-0{,}03735\cdot\frac{5R}{2}\,(247{,}1-326{,}0) =+61{,}3\\ \mathrm{J}.
2. Isobárico B\to C:
W_{BC}=p_{B}(V_{C}-V_{B}) =\bigl(0{,}3789\,\mathrm{atm}\bigr)\bigl(-1{,}00\times10^{-3}\,\mathrm{m}^3\bigr) =-38{,}4\\ \mathrm{J}.
3. Isocórico C\to A:
W_{CA}=0.
Trabalho total
W_{\rm total}=W_{AB}+W_{BC}+W_{CA} =61{,}3-38{,}4+0 =22{,}9\\ \mathrm{J}.

Passo 7

(f) Variação da energia interna em cada processo ( \Delta E=nC_{V}\Delta T):
\Delta E_{AB}=nC_{V}(T_{B}-T_{A})=-61{,}3\\ \mathrm{J}, \quad \Delta E_{BC}=nC_{V}(T_{C}-T_{B})=-95{,}8\\ \mathrm{J},
\Delta E_{CA}=nC_{V}(T_{A}-T_{C})=+157{,}2\\ \mathrm{J}.

Passo 8

(g) Calor em cada processo ( Q=\Delta E+W):
Q_{AB}=0\quad(\text{adiabático}), \quad Q_{BC}=\Delta E_{BC}+W_{BC}=-95{,}8-38{,}4=-134{,}2\\ \mathrm{J},á
Q_{CA}=\Delta E_{CA}+W_{CA}=157{,}2+0=+157{,}2\\ \mathrm{J}.
Calor absorvido ( Q_{Q}) é a soma dos Q>0:
Q_{Q}=157{,}2\\ \mathrm{J},
calor perdido ( Q_{F}) é |Q_{BC}|:
Q_{F}=134{,}2\\ \mathrm{J}.

Passo 9

(h) Eficiência do ciclo
\epsilon_{ABC} =\frac{W_{\rm total}}{Q_{Q}} =\frac{22{,}9}{157{,}2} =0{,}1457\approx14{,}6\%.

Passo 10

(i) Eficiência de Carnot entre T_{Q}=T_{A}=326{,}0\\ \mathrm{K} e T_{F}=T_{C}=123{,}6\\ \mathrm{K}:
\epsilon_{\rm Carnot} =1-\frac{T_{F}}{T_{Q}} =1-\frac{123{,}6}{326{,}0} =0{,}621\approx62{,}1\%.
Comparação:
\displaystyle \epsilon_{ABC}=14{,}6\%<\epsilon_{\rm Carnot}=62{,}1\%, o que é esperado já que nenhum ciclo real (ou não reversível) supera o Carnot.

Resposta

(a) Esboço no diagrama P- V: curva adiabática A\to B, depois isobárica B\to C, depois isocórica C\to A.
(b) Não é monoatômico, pois C_{V}\neq\tfrac{3R}{2}.
(c) T_{B}=247{,}1\\ \mathrm{K}, T_{C}=123{,}6\\ \mathrm{K}.
(d) n=0{,}03735\\ \mathrm{mol}.
(e) W_{\rm total}=22{,}9\\ \mathrm{J}.
(f) \Delta E_{AB}=-61{,}3\\ \mathrm{J}, \Delta E_{BC}=-95{,}8\\ \mathrm{J}, \Delta E_{CA}=+157{,}2\\ \mathrm{J}.
(g) Q_{Q}=157{,}2\\ \mathrm{J}, Q_{F}=134{,}2\\ \mathrm{J}.
(h) \epsilon_{ABC}=14{,}6\%.
(i) \epsilon_{\rm Carnot}=62{,}1\% e \epsilon_{ABC}<\epsilon_{\rm Carnot}, como esperado.

Exercícios relacionados