(2,0 pontos) Pelo método dos coeficientes a determinar, resolva as EDOs:
y^prime prime-5 y=e^3 x

Passo 1

A equação dada é y'' - 5y = e^3x. Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver pelo método dos coeficientes a determinar, vamos primeiro achar a solução da parte homogênea e depois uma solução particular.

Passo 2

Analisando a parte homogênea y'' - 5y = 0, montamos a equação característica
r^2 - 5 = 0

Passo 3

Resolvendo, obtemos as raízes r = pmraiz5. Logo a solução geral da homogênea é
yh(x) = C1 e^raiz5x + C2 e^-raiz5x

Passo 4

Agora buscamos uma solução particular para y'' - 5y = e^3x. Como o termo do lado direito é e^3x e 3 não é raiz da característica, adotamos o palpite
yp(x) = A e^3x

Passo 5

Derivando e substituindo em y'' - 5y:
yp'' - 5yp = Acdot 9e^3x - 5A e^3x = 4A e^3x

Passo 6

Igualando a e^3x do lado direito, temos 4A e^3x = e^3x, logo
4A = 1 implies A = tfrac14

Passo 7

Portanto a solução particular é
yp(x) = tfrac14 e^3x

Passo 8

A solução geral da EDO é a soma de yh e yp.

Resposta

y(x) = C1 e^raiz5x + C2 e^-raiz5x + tfrac14 e^3x

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