(2,0 pontos) Pelo método dos coeficientes a determinar, resolva as EDOs:
y^prime prime-8 y=x^2 e^x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO y'' - 8y = x^2 e^x usando o método dos coeficientes a determinar. O conteúdo é solução de EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo do tipo polinômio vezes exponencial. Vamos precisar: 1) achar a solução geral da homogênea, 2) propor um anstaz adequado para a particular e 3) determinar os coeficientes comparando termos.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada yh'' - 8yh = 0. O polinômio característico é r^2 - 8 = 0, cujas raízes são r = ±2raiz2. Logo,
yh(x) = C1 e^2raiz2,x + C2 e^-2raiz2,x

Passo 3

Para encontrar uma solução particular yp, notamos que o segundo membro é x^2 e^x. Como e^x não é solução da homogênea, propomos
yp(x) = (A x^2 + B x + C) e^x
e definimos P(x)=Ax^2+Bx+C. Das fórmulas de derivação temos
yp'' - 8yp = [P''(x) + 2P'(x) - 7P(x)]e^x

Passo 4

Precisamos que
P'' + 2P' - 7P = x^2.

Passo 5

Calculando: P' = 2Ax + B, P'' = 2A, então
P'' + 2P' - 7P = 2A + 2(2Ax+B) -7(Ax^2+Bx+C) = -7A x^2 + (4A -7B)x + (2A +2B -7C)

Passo 6

Comparando com x^2, obtemos o sistema
-7A = 1, 4A -7B = 0, 2A +2B -7C = 0

Passo 7

Daí
A = -tfrac17, B = -tfrac449, C = -tfrac22343

Passo 8

Portanto a particular é
yp(x) = l(-tfrac17 x^2 - tfrac449x - tfrac22343r)e^x

Passo 9

Juntando homogênea e particular, a solução geral é
y(x) = C1 e^2raiz2x + C2 e^-2raiz2x - l(tfrac17x^2 + tfrac449x + tfrac22343r)e^x

Resposta

y(x) = C1 e^2raiz2x + C2 e^-2raiz2x - l(tfrac17x^2 + tfrac449x + tfrac22343r)e^x

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