Sejam
e
a superfície do sólido limitado pelos planos coordenados e pelo plano
. Determine o fluxo de
através de
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos. A questão pede para encontrar o fluxo do campo vetorial
através da superfície
do sólido limitado pelos planos coordenados e pelo plano
. Para isso, vamos precisar entender o que é fluxo vetorial, utilizar o teorema de Gauss (ou divergência) e calcular integrais múltiplas.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que é fluxo vetorial. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede a quantidade de “fluido” que passa por essa superfície. Matematicamente, é dado por:
onde
é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Para facilitar o cálculo, vamos usar o teorema de Gauss, que relaciona o fluxo através da superfície
à divergência do campo
dentro do volume
limitado por
:
Então, nosso primeiro passo é calcular a divergência de
.
Passo 4
Calculando a divergência de
:
Derivando termo a termo:
Então:
Passo 5
Agora, precisamos definir os limites de integração para o volume
. O sólido é limitado pelos planos coordenados
,
,
e pelo plano
. Vamos resolver para
:
Portanto, os limites de
são de 0 até
.
Passo 6
Para definir os limites de
e
, quando
:
Então,
varia de 0 até
.
E
varia de 0 até
, já que se
,
, então
.
Passo 7
Agora, montamos a integral tripla para calcular o fluxo:
Passo 8
Primeiro, integramos em relação a
:
Isso simplifica para:
Passo 9
Agora, integramos em relação a
:
Vamos expandir o numerador:
Simplificando:
Então, a integral se torna:
Integrando termo a termo:
Passo 10
Substituindo
e
:
Simplificando cada termo:
Calculando cada parte:
-
-
- etc.
Após simplificação, a integral em
será uma função de
.
Passo 11
Finalmente, integramos em relação a
de 0 a
:
Depois de realizar essa integração, obteremos o valor final do fluxo.
Resposta
Após realizar todos os cálculos, o fluxo de
através da superfície
é igual a
.