(2,0 pontos) Resolva as EDOs de segunda ordem de coeficientes constantes:
y^prime prime+6 y=0

Passo 1

Então, vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes: . Esse tipo de equação entra na categoria das Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) de ordem dois e é importante para entender como sistemas físicos oscilam, como um pêndulo ou um circuito elétrico. Para resolver, vamos precisar usar o método das soluções características.

Passo 2

Primeiro, identificamos a equação característica associada à EDO. Para uma equação da forma r^2 + 6 = 0 , substituímos por e por 1, formando a equação característica:

Passo 3

Agora, resolvemos a equação característica para encontrar os valores de r^2 = -6 :
r = pm raiz-6
r = pm iraiz6
Aqui, é a unidade imaginária, indicando que temos raízes complexas.

Passo 4

Quando as raízes são complexas, da forma y(x) = C1 cos(beta x) + C2 sin(beta x) , a solução geral da EDO é dada por:
No nosso caso, e .

Passo 5

Substituindo y(x) = C1 cos(raiz6, x) + C2 sin(raiz6, x) na fórmula da solução geral, obtemos:

Resposta

A solução geral da EDO y(x) = C1 cos(raiz6, x) + C2 sin(raiz6, x) é:

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