(2,0 pontos) Pelo método da variação de parâmetros, resolva as EDOs:
y^prime prime+2 y=sec (x)

Passo 1

O enunciado pede para usarmos o método da variação de parâmetros para resolver a EDO
y'' + 2y = sec(x)
Conteúdo: EDO linear de segunda ordem não homogênea. Vamos precisar da solução geral da homogênea e da fórmula de variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
y'' + 2y = 0
A equação característica é r^2 + 2 = 0, cujas raízes são r = pm iraiz2. Logo, duas soluções lineares independentes são
y1(x) = cos(raiz2 x), y2(x) = sin(raiz2 x)

Passo 3

Na variação de parâmetros, buscamos uma particular da forma
yp(x) = u1(x) y1(x) + u2(x) y2(x),
onde as funções u1 e u2 satisfazem o sistema
u1'(x) y1(x) + u2'(x) y2(x) = 0, u1'(x) y1'(x) + u2'(x) y2'(x) = f(x),
com f(x)=sec(x).

Passo 4

Calculamos o Wronskiano de y1,y2:
$$
W(x)=
W(x)= y1 & y2 y1' & y2' = cos(raiz2x) & sin(raiz2x) -raiz2sin(raiz2x) & raiz2cos(raiz2x) =raiz2,


=\sqrt{2},.
$$

Passo 5

As fórmulas para as derivadas são
u1'(x) = -y2(x) f(x)W(x) = -sin(raiz2x)sec(x)raiz2, u2'(x) = y1(x) f(x)W(x) = cos(raiz2x)sec(x)raiz2

Passo 6

Integrando,
$$
u_1(x) = -\frac{1}{\sqrt{2}}\int \sin(\sqrt{2}x)\sec(x),dx,
\quad
u_2(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}\int \cos(\sqrt{2}x)\sec(x),dx.
u1(x) = -1raiz2integral sin(raiz2x)sec(x),dx, u2(x) = 1raiz2integral cos(raiz2x)sec(x),dx ãçãé
y_p(x) = u_1(x)\cos(\sqrt{2}x) + u_2(x)\sin(\sqrt{2}x).
$$

Passo 7

Finalmente, a solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:

Passo 8

y(x) = C1cos(raiz2x) + C2sin(raiz2x) -cos(raiz2x)raiz2integral sin(raiz2x)sec(x),dx +sin(raiz2x)raiz2integral cos(raiz2x)sec(x),dx

Resposta

A solução geral por variação de parâmetros é
y(x) = C1cos(raiz2x) + C2sin(raiz2x) -cos(raiz2x)raiz2integral sin(raiz2x)sec(x),dx +sin(raiz2x)raiz2integral cos(raiz2x)sec(x),dx

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