(2,0 pontos) Pelo método da variação de parâmetros, resolva as EDOs:
Passo 1
O enunciado pede para usarmos o método da variação de parâmetros para resolver a EDO
Conteúdo: EDO linear de segunda ordem não homogênea. Vamos precisar da solução geral da homogênea e da fórmula de variação de parâmetros.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
A equação característica é
, cujas raízes são
. Logo, duas soluções lineares independentes são
Passo 3
Na variação de parâmetros, buscamos uma particular da forma
onde as funções
e
satisfazem o sistema
com
.
Passo 4
Calculamos o Wronskiano de
:
$$
W(x)=
=\sqrt{2},.
$$
Passo 5
As fórmulas para as derivadas são
Passo 6
Integrando,
$$
u_1(x) = -\frac{1}{\sqrt{2}}\int \sin(\sqrt{2}x)\sec(x),dx,
\quad
u_1(x) = -\frac{1}{\sqrt{2}}\int \sin(\sqrt{2}x)\sec(x),dx,
\quad
u_2(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}\int \cos(\sqrt{2}x)\sec(x),dx.
y_p(x) = u_1(x)\cos(\sqrt{2}x) + u_2(x)\sin(\sqrt{2}x).
$$
Passo 7
Finalmente, a solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
Passo 8
Resposta
A solução geral por variação de parâmetros é