(2 pontos) Um dos modelos de dinâmica populacional é devido ao matemático Pierre-François Verhulst na década de 1840. Verhulst propôs que a população de uma certa espécie se estabiliza para um valor de limite máximo sustentável devido à limitação de recursos do meio no qual a população está inserida.
A equação de Verhulst é dada por:
\frac{d P}{d t}=\lambda P\left(1-\frac{P}{k}\right), \quad \lambda>0, k>0, t \geq 0
Considere, para o tempo t=0, a população inicial P_{0}=P(0)=10. Além disso, considere \lambda=0,05 e k=1000.
Nas condições do texto acima, em que momento, aproximadamente, a população se estabiliza em 800 ?

Passo 1

O enunciado dá a equação logística de Verhulst
\frac{dP}{dt} = \lambda\,P\Bigl(1-\frac{P}{k}\Bigr),
com P(0)=P_{0}=10, \lambda=0{,}05 e k=1000, e pede o instante t em que P(t)=800.

Passo 2

Usamos separação de variáveis e frações parciais. Escrevendo
\frac{dP}{P\bigl(1-P/k\bigr)} \;=\;\lambda\,dt
e observando que
\frac{1}{P\bigl(1-P/k\bigr)} =\frac{k}{P\,(k-P)} =\frac{1}{P}+\frac{1}{\,k-P\,},
integramos:
\int\Bigl(\frac{1}{P}+\frac{1}{k-P}\Bigr)dP =\int \lambda\,dt \;\Longrightarrow\; \ln\!\bigl(\tfrac{P}{\,k-P\,}\bigr)=\lambda t + C.

Passo 3

Da condição inicial P(0)=P_{0} obtemos
\ln\!\bigl(\tfrac{P_{0}}{\,k-P_{0}\,}\bigr)=C \quad\Longrightarrow\quad \frac{P}{\,k-P\,} =\frac{P_{0}}{\,k-P_{0}\,}\,e^{\lambda t}.
Isolando P, chega-se à forma clássica
P(t) =\frac{k\,P_{0}\,e^{\lambda t}}{\,P_{0}\,e^{\lambda t}+(k-P_{0})\,} =\frac{k}{\,1+\displaystyle\frac{k-P_{0}}{P_{0}}\,e^{-\lambda t}\,}.

Passo 4

Para P(t)=800 usamos
800=\frac{1000}{\,1+\displaystyle\frac{1000-10}{10}e^{-0{,}05\,t}\,} \;\Longrightarrow\; 1+\frac{990}{10}\,e^{-0{,}05\,t}= \frac{1000}{800}=1{,}25
\frac{990}{10}\,e^{-0{,}05\,t}=0{,}25 \;\Longrightarrow\; e^{-0{,}05\,t} =0{,}25\cdot\frac{10}{990} = \frac{2{,}5}{990}\approx0{,}002525.

Passo 5

Tomando logaritmo e isolando t:
-0{,}05\,t = \ln(0{,}002525) \quad\Longrightarrow\quad t = -\frac{1}{0{,}05}\,\ln(0{,}002525) \approx \frac{5{,}98}{0{,}05}\approx119{,}6.

Resposta

O tempo aproximado em que P(t) atinge 800 é t\approx120 (mesmo que o valor exato seja cerca de 119{,}6).

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