(2 pontos) Um dos modelos de dinâmica populacional é devido ao matemático Pierre-François Verhulst na década de 1840. Verhulst propôs que a população de uma certa espécie se estabiliza para um valor de limite máximo sustentável devido à limitação de recursos do meio no qual a população está inserida.
A equação de Verhulst é dada por:
Considere, para o tempo
, a população inicial
. Além disso, considere
e
.
Nas condições do texto acima, em que momento, aproximadamente, a população se estabiliza em
Passo 1
O enunciado dá a equação logística de Verhulst
com
,
e
, e pede o instante
em que
.
Passo 2
Usamos separação de variáveis e frações parciais. Escrevendo
e observando que
integramos:
Passo 3
Da condição inicial
obtemos
Isolando
, chega-se à forma clássica
Passo 4
Para
usamos
Passo 5
Tomando logaritmo e isolando
:
Resposta
O tempo aproximado em que
atinge 800 é
(mesmo que o valor exato seja cerca de
).