Resolva a EDO não linear usando o método da separação de variáveis:
x^{\prime} y^{2}-y=0.
y(\ln x) \frac{d x}{d y}=\frac{(y+1)^{2}}{x^{2}}
OBS: Integração por partes
\int u d v=u v-\int v d u

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
y\,\ln(x)\,\frac{dx}{dy}=\frac{(y+1)^{2}}{x^{2}},
que é separável em x e y. Vamos reescrevê-la de modo a agrupar todas as x de um lado e todas as y do outro.

Passo 2

Isolando \frac{dx}{dy} e multiplicando por x^{2}\ln(x), obtemos
x^{2}\ln(x)\,\frac{dx}{dy} =\frac{(y+1)^{2}}{y}.
Agora tratamos dy e dx como diferenciais e separamos:
x^{2}\ln(x)\,dx=\frac{(y+1)^{2}}{y}\,dy.

Passo 3

Integramos os dois lados:
\int x^{2}\ln(x)\,dx =\int \frac{(y+1)^{2}}{y}\,dy.
No lado esquerdo usamos integração por partes escolhendo
u=\ln(x), \quad dv=x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad du=\frac{1}{x}\,dx, \quad v=\frac{x^{3}}{3}.
Logo
\int x^{2}\ln(x)\,dx =\frac{x^{3}}{3}\ln(x) -\int \frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{x}\,dx =\frac{x^{3}}{3}\ln(x) -\frac{1}{3}\int x^{2}\,dx =\frac{x^{3}}{3}\ln(x) -\frac{x^{3}}{9}.
No lado direito escrevemos
\frac{(y+1)^{2}}{y} =\frac{y^{2}+2y+1}{y} =y+2+\frac{1}{y},
portanto
\int \frac{(y+1)^{2}}{y}\,dy =\int\Bigl(y+2+\frac{1}{y}\Bigr)dy =\frac{y^{2}}{2}+2y+\ln\lvert y\rvert.

Passo 4

Igualando as primitivas e incluindo constante de integração C, resulta
\frac{x^{3}}{3}\ln(x)-\frac{x^{3}}{9} =\frac{y^{2}}{2}+2y+\ln\lvert y\rvert + C.

Passo 5

Podemos deixar a solução na forma implícita acima ou, se preferir, multiplicar tudo por 9 e renomear a constante, obtendo por exemplo
3x^{3}\ln(x)-x^{3} =\frac{9}{2}\,y^{2}+18\,y+9\ln\lvert y\rvert + C_{1}.

Resposta

A solução geral da EDO é dada implicitamente por
\boxed{\frac{x^{3}}{3}\ln(x)-\frac{x^{3}}{9} =\frac{y^{2}}{2}+2y+\ln\lvert y\rvert + C.}

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