( 6,0 pontos) Um mol de gás ideal diatômico, a uma temperatura T_{o}, volume V_{o} e pressão P_{o}, realiza um ciclo termodinâmico como descrito a seguir:
  1. O gás é aquecido à pressão constante.
  2. Em seguida passa por uma expansão adiabática, onde o volume final é 3 V_{o}.
  3. E por último sofre uma compressão isotérmica até retornar a seu estado inicial.
Expresse os resultados em termos de T_{o} e R (constante universal dos gases)
a. Suponha que, nas temperaturas de operação do ciclo apenas os graus de liberdade de translação e rotação estão ativados, e as vibrações estejam “congeladas” devido a efeitos quânticos. A partir do Teorema da Equipartição da Energia, obtenha as capacidades térmicas molares C_{p} e C_{v}.
b. Esboce esses processos no plano ( P, V ) indicando claramente os processos 1,2 e 3 e os pontos de relevância do gráfico.
c. Calcule o calor fornecido e a variação de entropia do gás no processo 1.
d. Calcule o calor removido e a variação de entropia do gás no processo 3.
e. Obtenha o rendimento do ciclo e compare com o rendimento de um ciclo de Carnot que opere entre as mesmas temperaturas extremas. Considere apenas neste caso \ln (3)=1,09 e 3^{2 / 7}=1,37. Comente brevemente sobre o resultado.
f. Qual a variação da entropia durante o ciclo e comente sobre o resultado.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos 1 mol de gás ideal diatômico com apenas os graus de liberdade de translação e rotação ativos, em estado inicial (P_{0},V_{0},T_{0}). O ciclo é:
  1. Aquecimento isobárico de (P_{0},V_{0},T_{0}) até um novo estado (P_{0},V_{1},T_{1}).
  2. Expansão adiabática de (P_{0},V_{1},T_{1}) até (P_{2},3V_{0},T_{2}).
  3. Compressão isotérmica de volta a (P_{0},V_{0},T_{0}).
    Conteúdos a usar: teorema da equipartição, capacidades térmicas, primeira lei, entropia, rendimento e comparação com Carnot.

Passo 2

Graus de liberdade ativos f=3 (translação) +\;2 (rotação) =5. Da equipartição segue
C_{v}=\frac{f}{2}R=\frac{5}{2}R,
e
C_{p}=C_{v}+R=\frac{7}{2}R.

Passo 3

Determinamos o ponto B (P_{0},V_{1},T_{1}) da seguinte forma:
– No processo 1 (isobárico) V_{1}/V_{0}=T_{1}/T_{0}.
– No processo 2 (adiabático) vale T_{1}\,V_{1}^{\gamma-1}=T_{2}\,(3V_{0})^{\gamma-1} com \gamma=C_{p}/C_{v}=7/5 e T_{2}=T_{0} (pois o passo 3 é isotérmico em T_{0}).
Dessa forma
\frac{T_{1}}{T_{0}}=3^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}=3^{2/7}\approx1,37, \quad \frac{V_{1}}{V_{0}}=1,37.
No ponto C, após adiabática, V_{2}=3V_{0}, T_{2}=T_{0} e
P_{2}=\frac{R\,T_{0}}{3V_{0}}=\frac{P_{0}}{3}.
O esboço no diagrama P\times V é:
• A→B: linha horizontal em P_{0} de V_{0} a 1{,}37V_{0} (isobárico).
• B→C: curva adiabática convexa de (P_{0},1{,}37V_{0}) até (P_{0}/3,3V_{0}).
• C→A: hiperbola isoterma T=T_{0} de (P_{0}/3,3V_{0}) a (P_{0},V_{0}).

Passo 4

Calor fornecido e variação de entropia no processo 1 (isobárico de T_{0} a T_{1}):
Q_{1}=n\,C_{p}\,(T_{1}-T_{0}) =\frac{7}{2}R\bigl(3^{2/7}-1\bigr)T_{0} \approx\frac{7}{2}R\,T_{0}(1{,}37-1)=1{,}295\,R\,T_{0},
\Delta S_{1}=n\,C_{p}\ln\frac{T_{1}}{T_{0}} =\frac{7}{2}R\ln\bigl(3^{2/7}\bigr) =R\ln3\approx1{,}09\,R.

Passo 5

Calor removido e variação de entropia no processo 3 (isotérmico a T_{0} de 3V_{0} a V_{0}):
Q_{3}=-R\,T_{0}\ln\frac{V_{0}}{3V_{0}} =-R\,T_{0}\ln\frac{1}{3} =-R\,T_{0}(-\ln3) =-R\,T_{0}\ln3,
\Delta S_{3}=\frac{Q_{3}}{T_{0}}=-R\ln3\approx-1{,}09\,R.

Passo 6

Rendimento do ciclo:
W=Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}=Q_{1}+0+Q_{3},
\eta=\frac{W}{Q_{1}} =1-\frac{|Q_{3}|}{Q_{1}} =1-\frac{R\,T_{0}\ln3}{\tfrac{7}{2}R\,T_{0}\,(3^{2/7}-1)} =1-\frac{2\ln3}{7\,(3^{2/7}-1)} \approx1-\frac{2\times1{,}09}{7\times0{,}37}\approx0{,}16\;(16\%).
Para Carnot entre T_{0} e T_{1}=1{,}37T_{0}:
\eta_{C}=1-\frac{T_{0}}{T_{1}}=1-\frac{1}{1{,}37}\approx0{,}27\;(27\%).
Logo \eta<\eta_{C}, como esperado.

Passo 7

Variação total de entropia no ciclo:
\Delta S_{\rm ciclo} =\Delta S_{1}+\Delta S_{2}+\Delta S_{3} =R\ln3+0- R\ln3=0,
o que confirma que o ciclo é reversível.

Resposta

a) \displaystyle C_{v}=\tfrac{5}{2}R,\quad C_{p}=\tfrac{7}{2}R.
b) No diagrama P\times V: A (P_{0},V_{0}) → B (P_{0},1{,}37V_{0}) (isobárico); B→C (P_{0}/3,3V_{0}) (adiabático); C→A (isoterma T_{0}).
c) \displaystyle Q_{1}=\tfrac{7}{2}R\,T_{0}(\,3^{2/7}-1)\approx1{,}295\,R\,T_{0},\quad \Delta S_{1}=R\ln3\approx1{,}09\,R.
d) \displaystyle Q_{3}=-R\,T_{0}\ln3,\quad \Delta S_{3}=-R\ln3\approx-1{,}09\,R.
e) \displaystyle \eta\approx0,16\;(16\%), \eta_{C}\approx0,27\;(27\%). O ciclo real tem \eta<\eta_{C}.
f) \displaystyle \Delta S_{\rm ciclo}=0, coerente com ciclo reversível.

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