Determine se os vetores u, v e w abaixo são L. I. ou L. D. (Justifique a=
(a) u=(1,1,1), v=(1,0,1) e w=(1,0,0).
Passo 1
O enunciado fornece os vetores u=(1,1,1), v=(1,0,1) e w=(1,0,0) em \mathbb R^3 e pede para verificar se eles são linearmente independentes (L.I.) ou dependentes (L.D.). Para isso, vamos usar a definição de combinação linear nula e resolver o sistema resultante.
Passo 2
Segundo a definição, u,v,w são L.I. se a única solução do sistema
\alpha\,u+\beta\,v+\gamma\,w=0
é \alpha=\beta=\gamma=0. Escrevendo a combinação, temos
\alpha(1,1,1)+\beta(1,0,1)+\gamma(1,0,0)=(0,0,0).
Passo 3
Comparando componente a componente, obtemos o sistema
Da segunda equação segue \alpha=0. Substituindo na terceira, vem \beta=0. Finalmente, pela primeira, obtemos \gamma=0. Logo, a única solução é a trivial.
Passo 5
Como só existe a combinação trivial, concluímos que os vetores são linearmente independentes.
Resposta
Os vetores u, v e w são linearmente independentes.