Determine se os vetores u, v e w abaixo são L. I. ou L. D. (Justifique a=
(a) u=(1,1,1), v=(1,0,1) e w=(1,0,0).

Passo 1

O enunciado fornece os vetores u=(1,1,1), v=(1,0,1) e w=(1,0,0) em \mathbb R^3 e pede para verificar se eles são linearmente independentes (L.I.) ou dependentes (L.D.). Para isso, vamos usar a definição de combinação linear nula e resolver o sistema resultante.

Passo 2

Segundo a definição, u,v,w são L.I. se a única solução do sistema
\alpha\,u+\beta\,v+\gamma\,w=0
é \alpha=\beta=\gamma=0. Escrevendo a combinação, temos
\alpha(1,1,1)+\beta(1,0,1)+\gamma(1,0,0)=(0,0,0).

Passo 3

Comparando componente a componente, obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha+\beta+\gamma=0,\\\ \alpha=0,\\\ \alpha+\beta=0. \end{cases}

Passo 4

Da segunda equação segue \alpha=0. Substituindo na terceira, vem \beta=0. Finalmente, pela primeira, obtemos \gamma=0. Logo, a única solução é a trivial.

Passo 5

Como só existe a combinação trivial, concluímos que os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores u, v e w são linearmente independentes.

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