( 2 pontos) Mostre, por indução, que a soma dos n primeiros números naturais p a
2+4+6+\cdots+2 n=n(n+1)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, por indução, que a soma dos n primeiros números naturais pares satisfaz a fórmula abaixo:
2+4+6+\cdots+2n = n(n+1).
Informações dadas: a sequência dos termos é 2,4,6,\dots,2n (ou seja, o i-ésimo termo é 2i) e precisamos provar que a soma desses n termos vale n(n+1). Não há mais dados; queremos provar que a igualdade vale para todo n natural (assumimos n\ge 1).

Passo 2

Base da indução ( n=1). Verificamos a fórmula para n=1. O lado esquerdo é a soma dos primeiros 1 termos pares:
2.
O lado direito é, pela fórmula, n(n+1) com n=1:
1(1+1)=1\cdot 2=2.
Como os dois lados coincidem ( 2=2), a propriedade é verdadeira para n=1. A base é importante porque o princípio da indução precisa de um ponto inicial: mostramos que a afirmação vale para o primeiro caso.

Passo 3

Hipótese de indução. Suponha que a fórmula seja verdadeira para um inteiro arbitrário positivo k. Ou seja, suponha que
2+4+6+\cdots+2k = k(k+1).
Isto é a nossa hipótese de indução: assumimos que a afirmação vale para n=k e usaremos essa suposição para provar que vale para n=k+1.

Passo 4

Passo indutivo — provar para n=k+1. Escrevemos a soma dos primeiros k+1 termos pares como a soma dos primeiros k termos mais o termo (k+1)-ésimo:
2+4+6+\cdots+2k+2(k+1) = \bigl(2+4+6+\cdots+2k\bigr) + 2(k+1).
Agora usamos a hipótese de indução para substituir a soma entre parênteses por k(k+1):
\bigl(2+4+6+\cdots+2k\bigr) + 2(k+1) = k(k+1) + 2(k+1).
Observe que ambos os termos do lado direito têm o fator comum (k+1). Aplicamos a propriedade distributiva (fatoração): se temos a b + c b, podemos escrever (a+c)b. Aqui b=(k+1), a=k e c=2. Logo,
k(k+1) + 2(k+1) = (k+2)(k+1).
Reescrevendo em forma padrão e reconhecendo (k+2)=(k+1)+1, obtemos
(k+1)(k+2) = (k+1)\bigl((k+1)+1\bigr).
Portanto mostramos que, sob a hipótese de indução, a soma até 2(k+1) é exatamente (k+1)\bigl((k+1)+1\bigr), ou seja, a fórmula vale para n=k+1.

Passo 5

Conclusão da indução. Resumindo: a fórmula foi verificada para n=1 (base) e provamos que se vale para n=k então vale para n=k+1 (passo indutivo). Pelo princípio da indução matemática, a igualdade
2+4+6+\cdots+2n = n(n+1)
vale para todo inteiro natural n\ge 1. Boa! Você conseguiu — a estrutura do argumento por indução é sempre essa: base + hipótese + passo indutivo.

Resposta

2+4+6+\cdots+2n = n(n+1)

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