( 2 pontos) Mostre, por indução, que a soma dos
primeiros números naturais
a
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, por indução, que a soma dos
primeiros números naturais pares satisfaz a fórmula abaixo:
Informações dadas: a sequência dos termos é
(ou seja, o
-ésimo termo é
) e precisamos provar que a soma desses
termos vale
. Não há mais dados; queremos provar que a igualdade vale para todo
natural (assumimos
).
Passo 2
Base da indução (
). Verificamos a fórmula para
. O lado esquerdo é a soma dos primeiros
termos pares:
O lado direito é, pela fórmula,
com
:
Como os dois lados coincidem (
), a propriedade é verdadeira para
. A base é importante porque o princípio da indução precisa de um ponto inicial: mostramos que a afirmação vale para o primeiro caso.
Passo 3
Hipótese de indução. Suponha que a fórmula seja verdadeira para um inteiro arbitrário positivo
. Ou seja, suponha que
Isto é a nossa hipótese de indução: assumimos que a afirmação vale para
e usaremos essa suposição para provar que vale para
.
Passo 4
Passo indutivo — provar para
. Escrevemos a soma dos primeiros
termos pares como a soma dos primeiros
termos mais o termo
-ésimo:
Agora usamos a hipótese de indução para substituir a soma entre parênteses por
:
Observe que ambos os termos do lado direito têm o fator comum
. Aplicamos a propriedade distributiva (fatoração): se temos
, podemos escrever
. Aqui
,
e
. Logo,
Reescrevendo em forma padrão e reconhecendo
, obtemos
Portanto mostramos que, sob a hipótese de indução, a soma até
é exatamente
, ou seja, a fórmula vale para
.
Passo 5
Conclusão da indução. Resumindo: a fórmula foi verificada para
(base) e provamos que se vale para
então vale para
(passo indutivo). Pelo princípio da indução matemática, a igualdade
vale para todo inteiro natural
. Boa! Você conseguiu — a estrutura do argumento por indução é sempre essa: base + hipótese + passo indutivo.