(2 pontos) Ártemis foi encarregada de provar a seguinte afirmação
\forall x \in[\pi / 2, \pi], \sin (x)-\cos (x) \geq 1
Sabendo que ela escolheu o método de demostração por contradição, qual a alternativa correta correspondente
(a) Suponha que, para todo x \in[\pi / 2, \pi], tem-se \sin (x)-\cos (x)<1. Saben início da prova dela? Justifique.
(b) Suponha que, para todo x \in[\pi / 2, \pi], tem-se \sin (x)-\cos (x) \geq 1.
(c) Suponha que existe x \in[\pi / 2, \pi] tal que \sin (x)-\cos (x)<1.
(d) Suponha que existe x \in[\pi / 2, \pi] tal que $\sin (x)-\cos (x) \geq 1.

Passo 1

O enunciado pede: provar a afirmação
\forall x \in[\pi/2,\pi],\; \sin(x)-\cos(x)\geq 1.
Foi escolhido o método de demonstração por contradição. São dadas quatro alternativas de início de prova; precisamos identificar qual delas corresponde corretamente à hipótese inicial que se toma num argumento por contradição.

Passo 2

O que é fazer prova por contradição (em linguagem direta e simples)? Se quero provar uma proposição universal
\forall x\in D,\; P(x),
o método por contradição pede que eu suponha a negação dessa proposição e mostre que dessa suposição segue uma contradição (algo impossível). Use a equivalência lógica padrão:
\neg\big(\forall x\in D,\; P(x)\big)\quad\text{é equivalente a}\quad \exists x\in D \;\text{tal que}\; \neg P(x).é
Em palavras: a negação de “para todo x, P(x)” é “existe algum x para o qual P(x) é falso”.

Passo 3

Aplique isso ao nosso caso. Aqui
P(x) \equiv \sin(x)-\cos(x)\geq 1.
A negação de P(x) é
\neg P(x) \equiv \sin(x)-\cos(x)<1.
Pela equivalência do passo anterior, a negação da afirmação original é
\exists x\in[\pi/2,\pi]\;\text{tal que}\;\sin(x)-\cos(x)<1.
Essa fórmula corresponde exatamente à alternativa (c).

Passo 4

Por que as outras alternativas estão erradas?
  • (a) diz “para todo x\in[\pi/2,\pi], \sin(x)-\cos(x)<1”, isto é \forall x\; \neg P(x). Isso é muito mais forte do que a negação correta \exists x\; \neg P(x); em geral \neg(\forall x\; P(x)) não é equivalente a \forall x\; \neg P(x). Logo (a) está incorreta.
  • (b) repete a própria afirmativa que se quer provar ( \forall x\; P(x)); assumir isso como hipótese não é começar uma prova por contradição — é assumir o que se quer demonstrar.
  • (d) diz “existe x tal que \sin(x)-\cos(x)\geq 1”, isto é \exists x\; P(x). Isso é incompatível com a ideia de assumir a negação; além disso é uma afirmação fraca (apenas garante um caso), não a negação de \forall x\; P(x).

Passo 5

Para solidificar a intuição: se eu começar por (c) — isto é, supor que existe x_0\in[\pi/2,\pi] tal que \sin(x_0)-\cos(x_0)<1 — eu tentaria derivar uma contradição mostrando que, na verdade, para todo x desse intervalo sempre vale \sin(x)-\cos(x)\geq 1. Uma maneira prática de ver isso é reescrever a função:
\sin x-\cos x=\sqrt{2}\,\sin\!\big(x-\tfrac{\pi}{4}\big).
(Para obter essa identidade basta fatorar \sqrt{2} e usar as fórmulas de seno de diferença: \sin x\cos\tfrac{\pi}{4}-\cos x\sin\tfrac{\pi}{4}=\sin(x-\tfrac{\pi}{4}), sabendo que \cos\tfrac{\pi}{4}=\sin\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{1}{\sqrt{2}}.) Agora, se x\in[\pi/2,\pi] então
x-\tfrac{\pi}{4}\in\big[\tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4}\big],
e em esse intervalo \sin atinge mínimo em \tfrac{\pi}{4} com valor \sin\!\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}. Portanto, para todo x\in[\pi/2,\pi],
\sin x-\cos x=\sqrt{2}\,\sin\!\big(x-\tfrac{\pi}{4}\big)\geq \sqrt{2}\cdot \tfrac{\sqrt{2}}{2}=1.
Isso contradiz a hipótese “ \sin(x_0)-\cos(x_0)<1”. Logo a suposição (c) leva a contradição e o método funciona — confirmando que (c) era a escolha correta para começar a prova por contradição.

Passo 6

Resumo e ânimo rápido: a maneira correta de iniciar uma prova por contradição de uma afirmação do tipo “para todo” é assumir que existe um contraexemplo. Então a alternativa correta é (c). Força — já fizemos o raciocínio lógico e também mostrei como finalizar a contradição de forma curta.

Resposta

(c)

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