(2 pontos) Ártemis foi encarregada de provar a seguinte afirmação
Sabendo que ela escolheu o método de demostração por contradição, qual a alternativa correta correspondente
(a) Suponha que, para todo
, tem-se
. Saben início da prova dela? Justifique.
(b) Suponha que, para todo
, tem-se
.
(c) Suponha que existe
tal que
.
(d) Suponha que existe
tal que $\sin (x)-\cos (x) \geq 1.
(a) Suponha que, para todo
(b) Suponha que, para todo
(c) Suponha que existe
(d) Suponha que existe
Passo 1
O enunciado pede: provar a afirmação
Foi escolhido o método de demonstração por contradição. São dadas quatro alternativas de início de prova; precisamos identificar qual delas corresponde corretamente à hipótese inicial que se toma num argumento por contradição.
Passo 2
O que é fazer prova por contradição (em linguagem direta e simples)? Se quero provar uma proposição universal
o método por contradição pede que eu suponha a negação dessa proposição e mostre que dessa suposição segue uma contradição (algo impossível). Use a equivalência lógica padrão:
Em palavras: a negação de “para todo x, P(x)” é “existe algum x para o qual P(x) é falso”.
Passo 3
Aplique isso ao nosso caso. Aqui
A negação de
é
Pela equivalência do passo anterior, a negação da afirmação original é
Essa fórmula corresponde exatamente à alternativa (c).
Passo 4
Por que as outras alternativas estão erradas?
- (a) diz “para todo
, ”, isto é . Isso é muito mais forte do que a negação correta ; em geral não é equivalente a . Logo (a) está incorreta. - (b) repete a própria afirmativa que se quer provar (
); assumir isso como hipótese não é começar uma prova por contradição — é assumir o que se quer demonstrar. - (d) diz “existe
tal que ”, isto é . Isso é incompatível com a ideia de assumir a negação; além disso é uma afirmação fraca (apenas garante um caso), não a negação de .
Passo 5
Para solidificar a intuição: se eu começar por (c) — isto é, supor que existe
tal que
— eu tentaria derivar uma contradição mostrando que, na verdade, para todo
desse intervalo sempre vale
. Uma maneira prática de ver isso é reescrever a função:
(Para obter essa identidade basta fatorar
e usar as fórmulas de seno de diferença:
, sabendo que
.) Agora, se
então
e em esse intervalo
atinge mínimo em
com valor
. Portanto, para todo
,
Isso contradiz a hipótese “
”. Logo a suposição (c) leva a contradição e o método funciona — confirmando que (c) era a escolha correta para começar a prova por contradição.
Passo 6
Resumo e ânimo rápido: a maneira correta de iniciar uma prova por contradição de uma afirmação do tipo “para todo” é assumir que existe um contraexemplo. Então a alternativa correta é (c). Força — já fizemos o raciocínio lógico e também mostrei como finalizar a contradição de forma curta.
Resposta
(c)