(2,0 pontos) Mostre que o limite a seguir não existe.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
lim(x,y)to(0,0) x^4-4y^2x^2+2y^2
não existe. Aqui o conteúdo é limites de funções de duas variáveis e a ideia é usar aproximações por caminhos diferentes para obter resultados distintos.

Passo 2

Vamos aproximar por retas do tipo y=kx, com k constante. Substituindo y=kx na função
f(x,y)=x^4-4y^2x^2+2y^2
fica
f(x,kx) =x^4-4(kx)^2x^2+2(kx)^2 =x^4-4k^2x^2x^2+2k^2x^2

Passo 3

Fatorando x^2 em numerador e denominador, obtemos
f(x,kx) =x^2(x^2-4k^2)x^2(1+2k^2) =x^2-4k^21+2k^2
Tomando o limite xto0, resulta
limxto0f(x,kx) =0-4k^21+2k^2 =-4k^21+2k^2

Passo 4

Esse valor depende de k. Por exemplo:
– Para k=0 (ou seja, y=0) temos -4cdot0^2/(1+0)=0.
– Para k=1 (ou seja, y=x) temos -4cdot1^2/(1+2)= -4/3.
Como os limites são diferentes, o limite original não pode existir.

Resposta

O limite
lim(x,y)to(0,0) x^4-4y^2x^2+2y^2
não existe.

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