Verifique se as EDO’s abaixo são do tipo Bernoulli; em caso afirmativo, resolva a EDO.
c) 6 y^prime-2 y=x y

Passo 1

O enunciado dá a EDO
6y' - 2y = x,y
e pede para verificar se é do tipo Bernoulli e, em caso afirmativo, resolver. A forma geral da equação de Bernoulli é
y' + p(x),y = q(x),y^n,
com nneq0,1, mas o caso n=1 reduz-se a uma equação linear homogênea.

Passo 2

Vamos pôr a EDO na forma padrão dividindo tudo por 6:
y' - 13,y = x6,y
Reescrevendo,
y' + p(x),y = q(x),y^n
com
p(x) = -13, q(x)=x6, n=1
Como n=1, a equação é linear homogênea.

Passo 3

Para resolver
y' = x+26,y
podemos usar separação de variáveis. Escrevemos
y'y = x+26
e integramos:
integral y'y,dx = integral x+26,dx Longrightarrow lnlvert yrvert = x^212 + x3 + C

Passo 4

Elevando exponencial em ambos os lados:
y = e^lnlvert yrvert = e^x^212 + x3 + C = C1,e^x^212 + x3,
onde definimos C1 = e^C como constante arbitrária.

Resposta

y(x) = C,exp!l(x^212 + x3r),
com C constante de integração.

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