Verifique se as EDO’s abaixo são do tipo Bernoulli; em caso afirmativo, resolva a EDO.
b)
b)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a equação
é uma EDO de Bernoulli e, em caso afirmativo, resolvê-la. O conteúdo é reconhecer a forma
e usar a substituição
.
Passo 2
Colocando a EDO em forma padrão de Bernoulli, escrevemos
Aqui
,
e o expoente é
. Logo é uma Bernoulli.
Passo 3
Na Bernoulli, fazemos a substituição
Derivando ambos os lados em relação a
:
Isolamos
em termos de
:
Passo 4
Substituímos na EDO original:
Multiplicando tudo por
:
Mas
, então
que é uma EDO linear de coeficientes dependentes apenas de
.
Passo 5
Para resolver
calculamos o fator integrante
Multiplicando a equação por
:
Integrando em
:
Multiplicando por
:
Resposta
Voltando a
, temos
, isto é
então a solução geral é
onde
é constante de integração.