Verifique se as EDO’s abaixo são do tipo Bernoulli; em caso afirmativo, resolva a EDO.
b) y^prime=5 y+e^-2 x y^-2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação
y' = 5,y + e^-2x,y^-2
é uma EDO de Bernoulli e, em caso afirmativo, resolvê-la. O conteúdo é reconhecer a forma
y' + P(x),y = Q(x),y^n
e usar a substituição u = y^1-n.

Passo 2

Colocando a EDO em forma padrão de Bernoulli, escrevemos
y' - 5,y = e^-2x,y^-2
Aqui P(x) = -5, Q(x) = e^-2x e o expoente é n = -2. Logo é uma Bernoulli.

Passo 3

Na Bernoulli, fazemos a substituição
u = y^1-n = y^1-(-2) = y^3
Derivando ambos os lados em relação a x:
u' = 3,y^2,y'
Isolamos y' em termos de u':
y' = u'3,y^2

Passo 4

Substituímos na EDO original:
u'3,y^2 - 5,y = e^-2x,y^-2
Multiplicando tudo por 3,y^2:
u' - 15,y^3 = 3,e^-2x
Mas y^3 = u, então
u' - 15,u = 3,e^-2x,
que é uma EDO linear de coeficientes dependentes apenas de x.

Passo 5

Para resolver
u' - 15,u = 3,e^-2x,
calculamos o fator integrante
mu(x) = e^integral -15,dx = e^-15x
Multiplicando a equação por mu(x):
e^-15xu' - 15,e^-15xu = 3,e^-17x Longrightarrow ddxl(e^-15xur) = 3,e^-17x
Integrando em x:
e^-15xu = integral 3,e^-17x,dx = -317,e^-17x + C
Multiplicando por e^15x:
u = -tfrac317,e^-2x + C,e^15x

Resposta

Voltando a y, temos y^3 = u, isto é
y^3 = C,e^15x - 317,e^-2x,
então a solução geral é
y(x) = gl(C,e^15x - 317,e^-2xgr)^!1/3,
onde C é constante de integração.

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