(2,5 Pontos) Mostre que a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{n^{2}+n}+2^{-n}\right)
é convergente e calcule sua soma.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: mostrar que a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{n^{2}+n}+2^{-n}\right)
é convergente e calcular a sua soma. As informações dadas são exatamente os termos gerais da soma para n=1,2,3,\dots:
a_n=\frac{3}{n^{2}+n}+2^{-n}.
Não há outros dados ocultos: temos uma soma de termos positivos, e podemos usar propriedades de séries (como linearidade) para tratar cada parcela separadamente.

Passo 2

Estratégia prática (sem dor de cabeça): dividir a série em duas séries separadas e tratar cada uma:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{n^{2}+n}+2^{-n}\right) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{n^{2}+n} + \sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}.
Justificativa rápida: como todos os termos são não negativos, se cada uma das séries à direita converge então a soma também converge e sua soma é a soma das somas. Vou então provar convergência e calcular a soma de cada parcela.

Passo 3

Trato primeiro a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{n^{2}+n}.
Reescrevo o termo usando fatoração n^{2}+n=n(n+1) e faço frações parciais. Procuro A,B tais que
\frac{3}{n(n+1)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}.
Multiplicando por n(n+1) obtemos
3=A(n+1)+Bn.
Isso deve valer para todo n, então comparando coeficientes ou usando valores convenientes: para n=0 temos 3=A. Para n=-1 teríamos 3=B(-1) não conveniente, então melhor comparar coeficientes: A+B=0 para coeficiente de n e A=3 para termo constante; assim B=-A=-3. Logo
\frac{3}{n(n+1)}=\frac{3}{n}-\frac{3}{n+1}.

Passo 4

Agora uso isso para somar parcialmente e ver o telescoping. Defina a soma parcial
S_N^{(1)}=\sum_{n=1}^{N}\frac{3}{n(n+1)} =\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{3}{n}-\frac{3}{n+1}\right).
Escrevendo os primeiros termos vemos o cancelamento:
S_N^{(1)}= \left(3-\frac{3}{2}\right)+\left(\frac{3}{2}-\frac{3}{3}\right)+\left(\frac{3}{3}-\frac{3}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{3}{N}-\frac{3}{N+1}\right).
Tudo cancela exceto os extremos, então
S_N^{(1)}=3-\frac{3}{N+1}=3\left(1-\frac{1}{N+1}\right).
Fazendo N\to\infty obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{n^{2}+n}=\lim_{N\to\infty}S_N^{(1)}=3.
Portanto a primeira série converge e sua soma é 3.

Passo 5

Agora trato a série geométrica
\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}.
Reconhecemos que 2^{-n}=(1/2)^{n}. Esta é uma série geométrica com primeira termo a=(1/2) e razão r=(1/2). Para a série geométrica infinita com |r|<1 vale a fórmula (que pode ser demonstrada passando pelas somas parciais)
\sum_{n=1}^{\infty}ar^{\,n-1}=\frac{a}{1-r}.
No nosso caso a soma a partir de n=1 é
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1/2}{1/2}=1.
Logo a segunda série converge e sua soma é 1.

Passo 6

Juntando os resultados e usando linearidade da soma de séries convergentes:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{n^{2}+n}+2^{-n}\right) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{n^{2}+n} + \sum_{n=1}^{\infty}2^{-n} =3+1=4.
Um comentário amigo: deu trabalho olhar as duas partes, mas telescoping + geométrica são truques clássicos que aparecem muito em prova — decora esses passos e fica tranquilo!

Resposta

4

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