(2,5 Pontos) Mostre que a série
é convergente e calcule sua soma.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: mostrar que a série
é convergente e calcular a sua soma. As informações dadas são exatamente os termos gerais da soma para
:
Não há outros dados ocultos: temos uma soma de termos positivos, e podemos usar propriedades de séries (como linearidade) para tratar cada parcela separadamente.
Passo 2
Estratégia prática (sem dor de cabeça): dividir a série em duas séries separadas e tratar cada uma:
Justificativa rápida: como todos os termos são não negativos, se cada uma das séries à direita converge então a soma também converge e sua soma é a soma das somas. Vou então provar convergência e calcular a soma de cada parcela.
Passo 3
Trato primeiro a série
Reescrevo o termo usando fatoração
e faço frações parciais. Procuro
tais que
Multiplicando por
obtemos
Isso deve valer para todo
, então comparando coeficientes ou usando valores convenientes: para
temos
. Para
teríamos
não conveniente, então melhor comparar coeficientes:
para coeficiente de
e
para termo constante; assim
. Logo
Passo 4
Agora uso isso para somar parcialmente e ver o telescoping. Defina a soma parcial
Escrevendo os primeiros termos vemos o cancelamento:
Tudo cancela exceto os extremos, então
Fazendo
obtemos
Portanto a primeira série converge e sua soma é
.
Passo 5
Agora trato a série geométrica
Reconhecemos que
. Esta é uma série geométrica com primeira termo
e razão
. Para a série geométrica infinita com
vale a fórmula (que pode ser demonstrada passando pelas somas parciais)
No nosso caso a soma a partir de
é
Logo a segunda série converge e sua soma é
.
Passo 6
Juntando os resultados e usando linearidade da soma de séries convergentes:
Um comentário amigo: deu trabalho olhar as duas partes, mas telescoping + geométrica são truques clássicos que aparecem muito em prova — decora esses passos e fica tranquilo!