(2,0 pontos)
(a) Mostre que y1(t)=t^-1 é uma solução de 2 t^2 y^prime prime+3 t y^prime-y=0, t>0. Daí encontre um conjunto fundamental de soluções.
(b) Resolva o PVI: 9 y^prime prime-12 y^prime+4 y=0, y(0)=2, y^prime(0)=-1.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) mostrar que ,y1(t)=t^-1 é solução da ODE
2,t^2,y''+3,t,y'-y=0, t>0,
e, a partir daí, encontrar um conjunto fundamental de soluções;
(b) resolver o problema de valor inicial
9,y''-12,y'+4,y=0, y(0)=2,;y'(0)=-1,
que é uma ODE linear de coeficientes constantes.

Passo 2

Verificamos diretamente que y1(t)=t^-1 satisfaz a ODE de (a). Calculamos
y1(t)=t^-1, y1'(t)=-t^-2, y1''(t)=2,t^-3
Substituindo em 2,t^2y''+3,t,y'-y obtemos
2,t^2cdot2,t^-3 ;+;3,tcdot(-t^-2);-;t^-1 =4,t^-1-3,t^-1-t^-1=0,
logo y1 é solução.

Passo 3

Para achar a segunda solução usamos redução de ordem. Primeiro escrevemos a ODE em forma padrão
y''+32t,y'-12t^2,y=0,
isto é, p(t)=tfrac32t. A fórmula de redução de ordem dá
y2(t)=y1(t)integral e^-integral p(t),dty1(t)^2,dt
Temos integral p(t),dt=tfrac32ln t, logo e^-integral p,dt=t^-3/2 e y1(t)^2=t^-2. O integrando fica
t^-3/2t^-2=t^1/2,
e
integral t^1/2,dt=23t^3/2
Assim
y2(t)=t^-1cdot23t^3/2=23,t^1/2,
e podemos usar t^1/2 (descartando o fator constante).

Passo 4

Concluímos que um conjunto fundamental de soluções da ODE de (a) é
,t^-1,;t^1/2

Passo 5

Para o PVI da parte (b) consideramos a equação característica
9r^2-12r+4=0
O discriminante é De<a=144-144=0, logo há raiz dupla
r=1218=23
A solução geral é
y(t)=(c1+c2,t)e^23t
Impondo y(0)=2 vem c1=2. Derivando
y'(t)=l(c2+tfrac23(c1+c2t)r)e^23t,
temos y'(0)=c2+tfrac23c1=-1, isto é c2+tfrac43=-1 e c2=-tfrac73. Portanto
y(t)=l(2-tfrac73tr)e^23t

Resposta

(a) Um conjunto fundamental de soluções é t^-1,,t^1/2.
(b) A solução do PVI é
y(t)=l(2-tfrac73tr)e^23t

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