(2,0 pontos)
(a) Mostre que
é uma solução de
,
. Daí encontre um conjunto fundamental de soluções.
(b) Resolva o PVI:
.
(a) Mostre que
(b) Resolva o PVI:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) mostrar que é solução da ODE
(a) mostrar que
e, a partir daí, encontrar um conjunto fundamental de soluções;
(b) resolver o problema de valor inicial
(b) resolver o problema de valor inicial
que é uma ODE linear de coeficientes constantes.
Passo 2
Verificamos diretamente que
satisfaz a ODE de (a). Calculamos
Substituindo em
obtemos
logo
é solução.
Passo 3
Para achar a segunda solução usamos redução de ordem. Primeiro escrevemos a ODE em forma padrão
isto é,
. A fórmula de redução de ordem dá
Temos
, logo
e
. O integrando fica
e
Assim
e podemos usar
(descartando o fator constante).
Passo 4
Concluímos que um conjunto fundamental de soluções da ODE de (a) é
Passo 5
Para o PVI da parte (b) consideramos a equação característica
O discriminante é
, logo há raiz dupla
A solução geral é
Impondo
vem
. Derivando
temos
, isto é
e
. Portanto
Resposta
(a) Um conjunto fundamental de soluções é
.
(b) A solução do PVI é
(b) A solução do PVI é