a) [1 ponto] Mostre que a distância entre os planos paralelos e é
b) pontos Determine a distância entre os planos e .
c) pontos Mostre que se e e então a distância entre e é
d) [0,5 pontos ] Calcule a distância entre as retas X=(0,0,1)+t(1,2,4) e X=(0,1,0)+s(2,4,8).
Passo 1
Vamos resolver o exercício sobre a distância entre planos e retas no espaço. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente o cálculo de distâncias entre planos paralelos e entre retas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender fórmulas de distância entre planos e retas, além de vetores e produtos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que a distância entre dois planos paralelos a x + b y + c z + d1 = 0 e a x + b y + c z + d2 = 0 é dada por:
D = | d1 - d2 |raiza^2 + b^2 + c^2
Para isso, consideramos que os planos são paralelos porque os coeficientes de x , y e z são iguais. A distância entre eles pode ser encontrada escolhendo um ponto em um dos planos e calculando a distância desse ponto ao outro plano utilizando a fórmula de distância ponto-plano.
Passo 3
Agora, vamos determinar a distância entre os planos 2x - 3y + z = 4 e 4x - 6y + 2z = 3 .
Observamos que o segundo plano pode ser simplificado dividindo todos os coeficientes por 2:
4x - 6y + 2z = 3 Rightarrow 2x - 3y + z = 32
Isso mostra que os planos são paralelos, pois têm os mesmos coeficientes para x , y e z .
Usando a fórmula da distância entre planos paralelos:
Agora, vamos mostrar que para duas retas r1: X = A + t v e r2: X = B + s v , onde A neq B e v neq 0 , a distância entre elas é:
d(r1, r2) = |A B wed>= v||v|
Aqui, A B é o vetor que vai de A até B e wed>= representa o produto vetorial. A fórmula essencialmente calcula a altura de um paralelogramo formado pelos vetores A B e v , que corresponde à distância mínima entre as retas.
Passo 5
Por fim, vamos calcular a distância entre as retas X = (0, 0, 1) + t(1, 2, 4) e X = (0, 1, 0) + s(2, 4, 8) .
Primeiro, notamos que os vetores diretores das retas são v = (1, 2, 4) e u = (2, 4, 8) . Observamos que u = 2v , então as retas são paralelas.
Vamos usar a fórmula da distância entre retas paralelas:
D = |A B wed>= v||v|
Onde:
A = (0, 0, 1)
B = (0, 1, 0)
A B = B - A = (0, 1, -1)
v = (1, 2, 4)
Calculando o produto vetorial A B wed>= v :
A B wed>= v = i & j & k 0 & 1 & -1 1 & 2 & 4 = i(1*4 - (-1)*2) - j(0*4 - (-1)*1) + k(0*2 - 1*1) = i(4 + 2) - j(0 + 1) + k(0 -1) = 6i - j - k