a) [1 ponto] Mostre que a distância entre os planos paralelos a x+b y+c z+d1=0 e a x+ b y+c z+d2=0 é
D=|d1-d2|raiza^2+b^2+c^2
b) [0,5 pontos ] Determine a distância entre os planos 2 x-3 y+z=4 e 4 x-6 y+2 z=3.
c) [0,5 pontos ] Mostre que se r1: X=A+t v e r2: X=B+s v com A neq B e v neq 0 então a distância entre r1 e r2 é
d(r1, r2)=|A B wed>= v||v|
d) [0,5 pontos ] Calcule a distância entre as retas X=(0,0,1)+t(1,2,4) e X=(0,1,0)+ s(2,4,8).

Passo 1

Vamos resolver o exercício sobre a distância entre planos e retas no espaço. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente o cálculo de distâncias entre planos paralelos e entre retas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender fórmulas de distância entre planos e retas, além de vetores e produtos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que a distância entre dois planos paralelos a x + b y + c z + d1 = 0 e a x + b y + c z + d2 = 0 é dada por:
D = | d1 - d2 |raiza^2 + b^2 + c^2
Para isso, consideramos que os planos são paralelos porque os coeficientes de x , y e z são iguais. A distância entre eles pode ser encontrada escolhendo um ponto em um dos planos e calculando a distância desse ponto ao outro plano utilizando a fórmula de distância ponto-plano.

Passo 3

Agora, vamos determinar a distância entre os planos 2x - 3y + z = 4 e 4x - 6y + 2z = 3 .
Observamos que o segundo plano pode ser simplificado dividindo todos os coeficientes por 2:
4x - 6y + 2z = 3 Rightarrow 2x - 3y + z = 32
Isso mostra que os planos são paralelos, pois têm os mesmos coeficientes para x , y e z .
Usando a fórmula da distância entre planos paralelos:
D = | d1 - d2 |raiza^2 + b^2 + c^2
Aqui, d1 = 4 e d2 = 32 . Calculando:
D = | 4 - 32 |raiz2^2 + (-3)^2 + 1^2 = | 52 |raiz4 + 9 + 1 = 52raiz14 = 52raiz14 = 5raiz1428

Passo 4

Agora, vamos mostrar que para duas retas r1: X = A + t v e r2: X = B + s v , onde A neq B e v neq 0 , a distância entre elas é:
d(r1, r2) = |A B wed>= v||v|
Aqui, A B é o vetor que vai de A até B e wed>= representa o produto vetorial. A fórmula essencialmente calcula a altura de um paralelogramo formado pelos vetores A B e v , que corresponde à distância mínima entre as retas.

Passo 5

Por fim, vamos calcular a distância entre as retas X = (0, 0, 1) + t(1, 2, 4) e X = (0, 1, 0) + s(2, 4, 8) .
Primeiro, notamos que os vetores diretores das retas são v = (1, 2, 4) e u = (2, 4, 8) . Observamos que u = 2v , então as retas são paralelas.
Vamos usar a fórmula da distância entre retas paralelas:
D = |A B wed>= v||v|
Onde:
  • A = (0, 0, 1)
  • B = (0, 1, 0)
  • A B = B - A = (0, 1, -1)
  • v = (1, 2, 4)
Calculando o produto vetorial A B wed>= v :
A B wed>= v = i & j & k 0 & 1 & -1 1 & 2 & 4 = i(1*4 - (-1)*2) - j(0*4 - (-1)*1) + k(0*2 - 1*1) = i(4 + 2) - j(0 + 1) + k(0 -1) = 6i - j - k
Calculando a norma desse vetor:
|A B wed>= v| = raiz6^2 + (-1)^2 + (-1)^2 = raiz36 + 1 + 1 = raiz38
E a norma de v :
|v| = raiz1^2 + 2^2 + 4^2 = raiz1 + 4 + 16 = raiz21
Portanto, a distância é:
D = raiz38raiz21 = raiz3821 = raiz79821 approx 28.2321 approx 1.345

Resposta

A distância entre as retas dadas é aproximadamente 1,345 unidades.

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