(2 pontos) NotasDeAulas [2024] Seja a aplicação T: R^2 R^3, onde (a) T(x, y)= (x-y, x+y, y-x) é linear? Justifique. (b) se T(x, y)=(x+1, x-y, y-1) é linear? Justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá duas aplicações T:R^2toR^3 e pede para verificar quando cada uma é linear. O conceito-chave é: uma transformação T é linear se, para todos u,vinR^2 e todo escalar alpha, vale
T(u+v)=T(u)+T(v) e T(alpha u)=alpha,T(u)
Também vale o teste rápido de que toda aplicação linear satisfaz T(0,0)=(0,0,0).

Passo 2

Analisando T(x,y)=(x-y,;x+y,;y-x): seja u=(x1,y1) e v=(x2,y2). Então
T(u+v) =T(x1+x2,;y1+y2) =l((x1+x2)-(y1+y2),;(x1+x2)+(y1+y2),;(y1+y2)-(x1+x2)r)
e isso se separa como
(x1-y1,;x1+y1,;y1-x1)+(x2-y2,;x2+y2,;y2-x2) =T(u)+T(v)
Para homogeneidade, note que
T(alpha x,alpha y) =(alpha x-alpha y,;alpha x+alpha y,;alpha y-alpha x) =alpha,(x-y,;x+y,;y-x) =alpha,T(x,y)
Como ambas propriedades valem e T(0,0)=(0,0,0), concluímos que essa T é linear.

Passo 3

Agora em T(x,y)=(x+1,;x-y,;y-1), basta verificar o comportamento em (0,0). Temos
T(0,0)=(0+1,;0-0,;0-1)=(1,0,-1)neq(0,0,0)
Como uma aplicação linear sempre leva o vetor zero ao vetor zero, essa T não pode ser linear. Alternativamente, qualquer falha em preservação de soma ou escala mostraria a mesma coisa, mas a checagem de T(0) é a forma mais rápida.

Resposta

(a) A aplicação T(x,y)=(x-y,;x+y,;y-x) é linear.
(b) A aplicação T(x,y)=(x+1,;x-y,;y-1) não é linear.

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