(2 pontos) NotasDeAulas [2024] Seja a aplicação
, onde (a)
é linear? Justifique. (b) se
é linear? Justifique.
Passo 1
O enunciado nos dá duas aplicações
e pede para verificar quando cada uma é linear. O conceito-chave é: uma transformação
é linear se, para todos
e todo escalar
, vale
Também vale o teste rápido de que toda aplicação linear satisfaz
.
Passo 2
Analisando
: seja
e
. Então
e isso se separa como
Para homogeneidade, note que
Como ambas propriedades valem e
, concluímos que essa
é linear.
Passo 3
Agora em
, basta verificar o comportamento em
. Temos
Como uma aplicação linear sempre leva o vetor zero ao vetor zero, essa
não pode ser linear. Alternativamente, qualquer falha em preservação de soma ou escala mostraria a mesma coisa, mas a checagem de
é a forma mais rápida.
Resposta
(a) A aplicação
é linear.
(b) A aplicação não é linear.
(b) A aplicação