(2 pontos) NotasDeAulas [2024] Seja F: R^3 R^3 o operador linear definido na base canônica como F(1,0,0)=(2,3,1), F(0,1,0)=(2,5,7), F(0,0,1)=(-2,0,7). Determine uma expressão para F.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear
F:R^3toR^3
cuja ação na base canônica é
F(1,0,0)=(2,3,1), F(0,1,0)=(2,5,7), F(0,0,1)=(-2,0,7)
O conteúdo é operador linear e coordenadas na base canônica, e precisamos usar a propriedade de linearidade para obter F(x,y,z).

Passo 2

Como (x,y,z)=x,(1,0,0)+y,(0,1,0)+z,(0,0,1) e F é linear, vale
F(x,y,z) = x,F(1,0,0) + y,F(0,1,0) + z,F(0,0,1)

Passo 3

Substituindo as imagens dadas:
F(x,y,z) = x,(2,3,1) ;+; y,(2,5,7) ;+; z,(-2,0,7)
Somando componente a componente, obtemos
l(2x+2y-2z,;3x+5y+0cdot z,;1x+7y+7zr)

Resposta

F(x,y,z) = l(2x + 2y - 2z,;3x + 5y,;x + 7y + 7zr)

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