Em um lote de 100 peças, existem:
  • 80 peças não-defeituosas
  • 20 peças defeituosas.
Vamos extrair ao acàso DUAS peças do lote:
A=\{ a primeira peça é defeituosa \}\
B=\{a segunda peça é defeituosa \}\
Calcule P(B) com reposição

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados:
  • Total de peças no lote: 100.
  • Peças não-defeituosas: 80.
  • Peças defeituosas: 20.
Os eventos definidos são:
  • A=\{ a primeira peça é defeituosa \}.
  • B=\{ a segunda peça é defeituosa \}.
O que o problema pede: calcular P(B) no caso em que a extração é feita com reposição (ou seja, após retirar a primeira peça, ela é colocada de volta antes de retirar a segunda).

Passo 2

Entendendo “com reposição” e a consequência para probabilidades:
  • Com reposição, após a primeira retirada o lote volta a ter exatamente as mesmas 100 peças com as mesmas 20 defeituosas. Logo, a segunda retirada é feita sob as mesmas condições da primeira.
  • Portanto, a probabilidade de tirar uma peça defeituosa numa retirada isolada é
P(\text{defeituosa})=\frac{20}{100}.
Aqui \frac{20}{100} é a razão entre o número de peças defeituosas e o total de peças.

Passo 3

Raciocínio via probabilidade condicional (uma forma didática que mostra por que a reposição faz a segunda retirada independente da primeira):
Pela fórmula da probabilidade total:
P(B)=P(B\mid A)P(A)+P(B\mid A^{c})P(A^{c}),
onde A^{c} é o evento “a primeira peça não é defeituosa”.
Com reposição, a composição do lote não muda após a primeira retirada, logo
P(B\mid A)=P(B\mid A^{c})=\frac{20}{100}.
Também sabemos
P(A)=\frac{20}{100},\qquad P(A^{c})=\frac{80}{100}.
Substituindo na fórmula:
P(B)=\frac{20}{100}\cdot\frac{20}{100}+\frac{20}{100}\cdot\frac{80}{100} =\frac{20}{100}\left(\frac{20}{100}+\frac{80}{100}\right) =\frac{20}{100}\cdot 1 =\frac{20}{100}.
Interpretação simples: por independência (causada pela reposição), a probabilidade de a segunda peça ser defeituosa é a mesma da primeira, isto é \dfrac{20}{100}.

Passo 4

Resultados em formas usuais para leitura rápida:
P(B)=\frac{20}{100}=\frac{1}{5}=0,2=20\%.
Força aí — essa é uma situação bem comum em provas: “com reposição” torna as retiradas independentes e facilita muito as contas.

Resposta

P(B)=\dfrac{20}{100}=\dfrac{1}{5}=0,2=20\%

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