Considere a curva definida por (y^2-1)(y^2-4)=x^2(x^2-4).
i) Por derivação implícita, encontre uma expressão para d yd x.
ii) Quanto vale d yd x em pontos (x, y) tais que x=0 ?

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
(y^2 - 1)(y^2 - 4) = x^2(x^2 - 4)
e pede (i) a expressão de tfracdydx por derivação implícita e (ii) o valor de tfracdydx em pontos com x=0. Para isso vamos aplicar regra do produto, regra da cadeia e depois resolver para tfracdydx.

Passo 2

Defina a função
F(x,y) = (y^2 - 1)(y^2 - 4) - x^2(x^2 - 4),,
de modo que a curva é F(x,y)=0. Derivando em relação a x, a parcela que envolve y é
ddxl[(y^2 - 1)(y^2 - 4)r] = (2y,y')(y^2 - 4) + (y^2 - 1)(2y,y') = 2y,y'l[(y^2 - 4)+(y^2 - 1)r] = 2y(2y^2 - 5),y'

Passo 3

Agora derivamos a parte em x:
ddxl[x^2(x^2 - 4)r] = 2x(x^2 - 4) + x^2cdot2x = 2x^3 - 8x + 2x^3 = 4x^3 - 8x
Como essa parcela aparece com sinal negativo em F, sua contribuição é -l(4x^3 -8xr).

Passo 4

Somando as derivadas e igualando a zero, temos
2y(2y^2 - 5),y' ;-;(4x^3 - 8x) ;=;0
Isolando y'=tfracdydx:
2y(2y^2 - 5),y' = 4x^3 - 8x Longrightarrow y' = 4x^3 - 8x2y(2y^2 - 5) = 2x(x^2 - 2)y(2y^2 - 5)

Passo 5

Para x=0, o numerador vira
2cdot 0,(0^2 - 2)=0
Os pontos da curva com x=0 satisfazem
(y^2 -1)(y^2 - 4)=0 ;Longrightarrow; y=pm1,pm2,
e em y=pm1,pm2 o denominador y(2y^2-5) é diferente de zero. Logo
dydx|x=0 = 0

Resposta

dydx = 2x(x^2 - 2)y(2y^2 - 5),
e em todos os pontos com x=0 (i.e.\ y=pm1,pm2 ) vale
dydx = 0

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