Considere a curva definida por x^4+y^4=32.
i) Por derivação implícita, encontre uma expressão para d yd x e para d xd y.
ii) Em quais pontos dessa curva a inclinação da reta tangente é horizontal, em quais é 1 , em quais é -1, e em quais é vertical?

Passo 1

O enunciado trata da curva implícita
x^4+y^4=32
e pede:
i) usar derivação implícita para obter tfracdydx e tfracdxdy;
ii) determinar os pontos onde a reta tangente é horizontal, vertical, tem inclinação 1 ou -1.

Passo 2

Derivando em relação a x temos
4x^3+4y^3dydx=0
de onde
dydx=-x^3y^3
Invertendo a troca de variáveis (derivando em relação a y) obtemos
dxdy=-y^3x^3

Passo 3

Tangente horizontal ocorre quando tfracdydx=0, isto é x^3=0Rightarrow x=0. Substituindo em x^4+y^4=32
y^4=32;Rightarrow;y=pmraiz[4]32
Tangente vertical ocorre quando tfracdxdy=0, isto é y^3=0Rightarrow y=0. Substituindo em x^4+0=32
x=pmraiz[4]32

Passo 4

Inclinação 1 significa
dydx=1;Longrightarrow;-,x^3y^3=1;Longrightarrow;y^3=-x^3;Longrightarrow;y=-x
Na curva isso leva a
x^4+(-x)^4=2x^4=32;Rightarrow;x^4=16;Rightarrow;x=pm2,;y=-x,
ou seja (2,-2) e (-2,2).
Inclinação -1 significa
dydx=-1;Longrightarrow;-,x^3y^3=-1;Longrightarrow;y^3=x^3;Longrightarrow;y=x,
que na curva dá
2x^4=32;Rightarrow;x=pm2,;y=x,
ou seja (2,2) e (-2,-2).

Resposta

i)
dydx=-x^3y^3, dxdy=-y^3x^3
ii)
  • Tangente horizontal em l(0,pmraiz[4]32r)
  • Tangente vertical em l(pmraiz[4]32,0r)
  • Inclinação 1 em (2,-2) e (-2,2).
  • Inclinação -1 em (2,2) e (-2,-2).

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