( 2 pontos) \operatorname{Sejam} f, g: X \rightarrow \mathbb{R}, a \in X^{\prime}, \lim _{x \rightarrow a} f(x)=L e \lim _{x \rightarrow a} g(x)=M. Se M<L, mostre que existe \delta>0 tal que g(x)<f(x), para todo x \in X, com 0<|x-a|<\delta.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • São funções f,g:X\to\mathbb{R}.
  • Tem-se um ponto a\in X' (ponto de acumulação de X).
  • \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=L e \displaystyle \lim_{x\to a} g(x)=M.
  • Sabe-se que M<L.
A pergunta é: mostrar que existe \delta>0 tal que g(x)<f(x) para todo x\in X com 0<|x-a|<\delta.

Passo 2

Ideia principal (sem resolver ainda): como M<L a diferença L-M é positiva. Vou escolher um valor intermediário entre M e L (por exemplo a média aritmética) e usar a definição \varepsilon- \delta dos limites para garantir que, suficientemente perto de a, g(x) fique abaixo desse valor e f(x) acima desse mesmo valor. Assim conseguirei g(x)<f(x).

Passo 3

Definir o valor intermediário. Como M<L, defina
c=\frac{M+L}{2}.
Observe que M<c<L e que
c-M=\frac{L-M}{2}>0,\qquad L-c=\frac{L-M}{2}>0.

Passo 4

Aplicar a definição de limite a g com \varepsilon=c-M. Pela definição de limite existe \delta_1>0 tal que, para todo x\in X com 0<|x-a|<\delta_1,
|g(x)-M|<c-M.
Da desigualdade anterior segue
g(x)<M+(c-M)=c.
Analogamente, aplicar a definição de limite a f com \varepsilon=L-c. Existe \delta_2>0 tal que, para todo x\in X com 0<|x-a|<\delta_2,
|f(x)-L|<L-c.
Daí segue
f(x)>L-(L-c)=c.

Passo 5

Escolher \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}. Então \delta>0 e para todo x\in X com 0<|x-a|<\delta valem simultaneamente as duas desigualdades obtidas:
g(x)<c\quad\text{e}\quad f(x)>c.

Passo 6

Concluir a desigualdade desejada juntando as duas: para todo x\in X com 0<|x-a|<\delta,
g(x)<c<f(x)\quad\Rightarrow\quad g(x)<f(x).
Isto mostra rigorosamente a existência de um \delta>0 que garante g(x)<f(x) perto de a.

Passo 7

Comentário final e incentivo: a técnica usada é padrão — quando os limites têm ordem estrita, escolhe-se um valor intermediário (a média é a escolha mais simples) e aplica-se a definição \varepsilon- \delta para cada função com o mesmo \varepsilon (aqui metade da diferença). Respira fundo: essa ideia aparece muito em provas e é fácil de lembrar. Bom estudo!

Resposta

Existe \delta>0 tal que g(x)<f(x) para todo x\in X com 0<|x-a|<\delta.

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