( 2 pontos)
e
. Se
, mostre que existe
tal que
, para todo
, com
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- São funções
. - Tem-se um ponto
(ponto de acumulação de ). -
e . - Sabe-se que
.
A pergunta é: mostrar que existe
tal que
para todo
com
.
Passo 2
Ideia principal (sem resolver ainda): como
a diferença
é positiva. Vou escolher um valor intermediário entre
e
(por exemplo a média aritmética) e usar a definição
-
dos limites para garantir que, suficientemente perto de
,
fique abaixo desse valor e
acima desse mesmo valor. Assim conseguirei
.
Passo 3
Definir o valor intermediário. Como
, defina
Observe que
e que
Passo 4
Aplicar a definição de limite a
com
. Pela definição de limite existe
tal que, para todo
com
,
Da desigualdade anterior segue
Analogamente, aplicar a definição de limite a
com
. Existe
tal que, para todo
com
,
Daí segue
Passo 5
Escolher
. Então
e para todo
com
valem simultaneamente as duas desigualdades obtidas:
Passo 6
Concluir a desigualdade desejada juntando as duas: para todo
com
,
Isto mostra rigorosamente a existência de um
que garante
perto de
.
Passo 7
Comentário final e incentivo: a técnica usada é padrão — quando os limites têm ordem estrita, escolhe-se um valor intermediário (a média é a escolha mais simples) e aplica-se a definição
-
para cada função com o mesmo
(aqui metade da diferença). Respira fundo: essa ideia aparece muito em provas e é fácil de lembrar. Bom estudo!
Resposta
Existe
tal que
para todo
com
.