(2 pontos) (Teorema do Ponto Fixo de Brouwer em dimensão 1) Seja f:[a, b] \rightarrow[a, b] contínua. Prove que f possui um ponto fixo, isto é, existe x \in[a, b] tal que f(x)=x. Dê exemplo de uma função contínua f:[0,1) \rightarrow[0,1) sem ponto fixo.
\mathcal{P}

Passo 1

O enunciado dá que f:[a,b]\to[a,b] é contínua e pede duas coisas:
  • Mostrar que existe x\in[a,b] tal que f(x)=x (ou seja, provar que f tem um ponto fixo).
  • Dar um exemplo de função contínua f:[0,1)\to[0,1) que não tenha ponto fixo.
Informações relevantes fornecidas:
  • O domínio e a imagem são o mesmo intervalo fechado [a,b] (com a\le b).
  • A função f é contínua em [a,b].

Passo 2

Ideia chave (apresentando a ferramenta que vamos usar): Definimos a função auxiliar
g(x)=f(x)-x.
Vou explicar por que isso é útil e por que podemos aplicá-lo. Primeiro, como usamos continuidade para resolver equações?
  • Lembrete sobre continuidade e a ferramenta que vamos usar: o Teorema do Valor Intermediário (TVI). O TVI diz: se uma função h é contínua em um intervalo [a,b] e h(a) e h(b) têm sinais opostos (ou um deles é zero), então existe c\in[a,b] tal que h\text{(c)}=0. Intuitivamente: uma função contínua não “pula” valores, então, ao ir de um valor positivo a um negativo, ela passa por zero.
  • Por que g é contínua? Porque f é contínua e a função identidade x\mapsto x é contínua; a diferença de duas funções contínuas é contínua. Logo g é contínua em [a,b], podendo aplicar o TVI a g.

Passo 3

Avaliar g nas extremidades do intervalo usando que f mapeia em [a,b].
  • Como f(x)\in[a,b] para todo x\in[a,b], em particular f(a)\in[a,b]. Assim \,f(a)\ge a, e portanto
g(a)=f(a)-a \ge 0.
  • Do mesmo modo, f(b)\in[a,b] implica f(b)\le b, então
g(b)=f(b)-b \le 0.

Passo 4

Tratar os casos limites e aplicar o TVI.
  • Se g(a)=0 então f(a)=a e temos um ponto fixo x=a.
  • Se g(b)=0 então f(b)=b e temos um ponto fixo x=b.
  • Se nenhum dos dois é zero, então g(a)>0 e g(b)<0. Como g é contínua em [a,b], o Teorema do Valor Intermediário garante que existe c\in(a,b) tal que
g\text{(c)}=0.
Mas g\text{(c)}=0 é exatamente f\text{(c)}=c. Logo existe c\in[a,b] com f\text{(c)}=c.
Conclusão: em todos os casos existe pelo menos um ponto x\in[a,b] tal que f(x)=x. Isso prova o Teorema do Ponto Fixo de Brouwer em dimensão 1.

Passo 5

Agora o exemplo pedido: apresentar uma função contínua f:[0,1)\to[0,1) sem ponto fixo e verificar as propriedades.
Considere a função
f(x)=\frac{x+1}{2},\qquad x\in[0,1).
Verificações:
  • Continuidade: f é afim (polinomial de grau 1), logo é contínua em todo [0,1).
  • Imagem contida em [0,1): para x\in[0,1) tem 0\le x<1, então
0<\frac{x+1}{2}<1,
portanto f(x)\in(0,1)\subset[0,1).
  • Ausência de ponto fixo: resolver f(x)=x
\frac{x+1}{2}=x \quad\Rightarrow\quad 1= x,
mas x=1 não pertence ao domínio [0,1). Logo não há x\in[0,1) com f(x)=x.
Assim f(x)=\dfrac{x+1}{2} é um exemplo contínuo f:[0,1)\to[0,1) sem ponto fixo.

Resposta

Existe x\in[a,b] tal que f(x)=x.
Exemplo: f:[0,1)\to[0,1) dada por f(x)=\dfrac{x+1}{2}, que é contínua e não possui ponto fixo.

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