(2 pontos) (Teorema do Ponto Fixo de Brouwer em dimensão 1) Seja
contínua. Prove que
possui um ponto fixo, isto é, existe
tal que
. Dê exemplo de uma função contínua
sem ponto fixo.
Passo 1
O enunciado dá que
é contínua e pede duas coisas:
- Mostrar que existe
tal que (ou seja, provar que tem um ponto fixo). - Dar um exemplo de função contínua
que não tenha ponto fixo.
Informações relevantes fornecidas:
- O domínio e a imagem são o mesmo intervalo fechado
(com ). - A função
é contínua em .
Passo 2
Ideia chave (apresentando a ferramenta que vamos usar): Definimos a função auxiliar
Vou explicar por que isso é útil e por que podemos aplicá-lo. Primeiro, como usamos continuidade para resolver equações?
- Lembrete sobre continuidade e a ferramenta que vamos usar: o Teorema do Valor Intermediário (TVI). O TVI diz: se uma função
é contínua em um intervalo e e têm sinais opostos (ou um deles é zero), então existe tal que . Intuitivamente: uma função contínua não “pula” valores, então, ao ir de um valor positivo a um negativo, ela passa por zero. - Por que
é contínua? Porque é contínua e a função identidade é contínua; a diferença de duas funções contínuas é contínua. Logo é contínua em , podendo aplicar o TVI a .
Passo 3
Avaliar
nas extremidades do intervalo usando que
mapeia em
.
- Como
para todo , em particular . Assim , e portanto
- Do mesmo modo,
implica , então
Passo 4
Tratar os casos limites e aplicar o TVI.
- Se
então e temos um ponto fixo . - Se
então e temos um ponto fixo . - Se nenhum dos dois é zero, então
e . Como é contínua em , o Teorema do Valor Intermediário garante que existe tal que
Mas
é exatamente
. Logo existe
com
.
Conclusão: em todos os casos existe pelo menos um ponto
tal que
. Isso prova o Teorema do Ponto Fixo de Brouwer em dimensão 1.
Passo 5
Agora o exemplo pedido: apresentar uma função contínua
sem ponto fixo e verificar as propriedades.
Considere a função
Verificações:
- Continuidade:
é afim (polinomial de grau 1), logo é contínua em todo . - Imagem contida em
: para tem , então
portanto
.
- Ausência de ponto fixo: resolver
dá
mas
não pertence ao domínio
. Logo não há
com
.
Assim
é um exemplo contínuo
sem ponto fixo.
Resposta
Existe
tal que
.
Exemplo: dada por
, que é contínua e não possui ponto fixo.
Exemplo: