Pontos Ordinários ou Singulares. Determine se os pontos são ordinários, singulares regulares ou singular irregular.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para classificar o ponto
como ponto ordinário, singular regular ou singular irregular.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação está na forma padrão
. - Aqui
e . - O ponto a investigar é
.
Passo 2
Vou explicar como testar a natureza de
. Para uma equação linear de segunda ordem na forma
as classificações são feitas assim:
- Ponto ordinário:
e são analíticos em (ou seja, não têm singularidade em e admitem série de potências convergente em torno de ). - Ponto singular: ocorre quando pelo menos uma das funções
ou não é analítica em . - Singular regular (ou ponto singular regular): se
e são analíticas em . - Singular irregular: se o ponto é singular, mas não satisfaz as condições acima para ser regular.
- Singular regular (ou ponto singular regular): se
Explicando de forma prática: analítico em
significa que a função não tem polo nem outro tipo de descontinuidade em
; pode ser expandida em série de potências centrada em
.
Passo 3
Identifico novamente as coeficientes:
Agora verifico a regularidade em
.
Calcular os valores em
:
Ambos são finitos, o que já indica ausência de polo em
.
Passo 4
Para deixar bem claro a analiticidade, posso expandir
em série de potências ao redor de
. Usando a identidade geométrica,
válida para
. Essa série mostra que
é representável por uma série de potências em torno de
, logo é analítica em
. E
é claramente analítica em todo lugar.
Como tanto
quanto
são analíticas em
, o ponto
é um ponto ordinário.
Passo 5
Dica de prova/consulta rápida: ao ver uma equação nessa forma, primeiro identifique
e
. Avalie se têm polos em
. Se nenhum tem polo → ponto ordinário. Se houver polo, aplique o teste multiplicando por
e
para verificar regularidade. Isso é rápido de checar na hora da prova.
Resposta
Ponto ordinário.