Pontos Ordinários ou Singulares. Determine se os pontos são ordinários, singulares regulares ou singular irregular.
y^{\prime \prime}+\left(\frac{1}{x-2}\right) y^{\prime}+y=0 ; x_{0}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y''+\left(\frac{1}{x-2}\right)y'+y=0
e pede para classificar o ponto x_0=0 como ponto ordinário, singular regular ou singular irregular.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação está na forma padrão y''+p(x)y'+q(x)y=0.
  • Aqui p(x)=\dfrac{1}{x-2} e q(x)=1.
  • O ponto a investigar é x_0=0.

Passo 2

Vou explicar como testar a natureza de x_0. Para uma equação linear de segunda ordem na forma
y''+p(x)y'+q(x)y=0,
as classificações são feitas assim:
  • Ponto ordinário: p(x) e q(x) são analíticos em x_0 (ou seja, não têm singularidade em x_0 e admitem série de potências convergente em torno de x_0).
  • Ponto singular: ocorre quando pelo menos uma das funções p(x) ou q(x) não é analítica em x_0.
    • Singular regular (ou ponto singular regular): se (x-x_0)p(x) e (x-x_0)^2 q(x) são analíticas em x_0.
    • Singular irregular: se o ponto é singular, mas não satisfaz as condições acima para ser regular.
Explicando de forma prática: analítico em x_0 significa que a função não tem polo nem outro tipo de descontinuidade em x_0; pode ser expandida em série de potências centrada em x_0.

Passo 3

Identifico novamente as coeficientes:
p(x)=\frac{1}{x-2},\qquad q(x)=1.
Agora verifico a regularidade em x_0=0.
Calcular os valores em x=0:
p(0)=\frac{1}{0-2}=-\frac{1}{2},\qquad q(0)=1.
Ambos são finitos, o que já indica ausência de polo em x=0.

Passo 4

Para deixar bem claro a analiticidade, posso expandir p(x) em série de potências ao redor de x_0=0. Usando a identidade geométrica,
\frac{1}{x-2}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-\tfrac{x}{2}}=-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x}{2}\right)^n,
válida para |x|<2. Essa série mostra que p(x) é representável por uma série de potências em torno de x=0, logo é analítica em x_0=0. E q(x)=1 é claramente analítica em todo lugar.
Como tanto p(x) quanto q(x) são analíticas em x_0=0, o ponto x_0=0 é um ponto ordinário.

Passo 5

Dica de prova/consulta rápida: ao ver uma equação nessa forma, primeiro identifique p e q. Avalie se têm polos em x_0. Se nenhum tem polo → ponto ordinário. Se houver polo, aplique o teste multiplicando por (x-x_0) e (x-x_0)^2 para verificar regularidade. Isso é rápido de checar na hora da prova.

Resposta

Ponto ordinário.

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