Calcule as seguintes integrais:
\int_{0}^{1} e^{-x / a} d x, onde a é uma constante \neq 0

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral definida
\int_{0}^{1} e^{-x / a}\,dx,
onde a é uma constante com \,a\neq0.
Informações relevantes: os limites de integração são 0 e 1; o integrando é a função exponencial e^{-x/a}; e a hipótese \,a\neq0 garante que o coeficiente do expoente não é zero (importantíssimo para usar a fórmula padrão da integral de exponencial).

Passo 2

Lembra do fato básico sobre integrais de exponenciais que vamos usar: se k é uma constante diferente de zero, então
\int e^{k x}\,dx = \frac{1}{k}e^{k x} + C.
Por que isso vale? Porque a derivada de e^{k x} é k e^{k x}; assim a derivada de \frac{1}{k}e^{k x} é e^{k x}, logo \frac{1}{k}e^{k x} é uma primitiva de e^{k x}. Aqui precisamos de k\neq0, e no nosso caso o coeficiente k será -\tfrac{1}{a}, que é diferente de zero porque \,a\neq0.

Passo 3

Identificamos k=-\tfrac{1}{a}. Aplicando a fórmula, uma primitiva de e^{-x/a} é
\int e^{-x/a}\,dx = \frac{1}{-1/a}\,e^{-x/a} + C.
Vamos simplificar o coeficiente:
\frac{1}{-1/a} = -a,
portanto uma primitiva conveniente é
F(x) = -a\,e^{-x/a}.

Passo 4

Agora usamos a primitiva para calcular a integral definida pelos teorema fundamental do cálculo:
\int_{0}^{1} e^{-x/a}\,dx = F(1)-F(0).
Calculemos cada termo explicitamente:
F(1) = -a\,e^{-1/a},
F(0) = -a\,e^{0} = -a.
Subtraindo:
F(1)-F(0) = -a\,e^{-1/a} - (-a) = a\bigl(1 - e^{-1/a}\bigr).

Passo 5

(se quiser ver por substituição: faça u=-x/a, então dx=-a\,du. Os limites vão de x=0\Rightarrow u=0 até x=1\Rightarrow u=-1/a. A integral vira \int_{0}^{-1/a} e^{u}(-a)\,du = a\int_{-1/a}^{0} e^{u}\,du = a\bigl[e^{u}\bigr]_{-1/a}^{0}=a(1-e^{-1/a}), mesma resposta — só reforçando a ideia.)

Resposta

a\bigl(1 - e^{-1/a}\bigr)

Exercícios relacionados