Calcule as seguintes integrais:
, onde
é uma constante
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral definida
onde
é uma constante com
.
Informações relevantes: os limites de integração são e
; o integrando é a função exponencial
; e a hipótese
garante que o coeficiente do expoente não é zero (importantíssimo para usar a fórmula padrão da integral de exponencial).
Informações relevantes: os limites de integração são
Passo 2
Lembra do fato básico sobre integrais de exponenciais que vamos usar: se
é uma constante diferente de zero, então
Por que isso vale? Porque a derivada de
é
; assim a derivada de
é
, logo
é uma primitiva de
. Aqui precisamos de
, e no nosso caso o coeficiente
será
, que é diferente de zero porque
.
Passo 3
Identificamos
. Aplicando a fórmula, uma primitiva de
é
Vamos simplificar o coeficiente:
portanto uma primitiva conveniente é
Passo 4
Agora usamos a primitiva para calcular a integral definida pelos teorema fundamental do cálculo:
Calculemos cada termo explicitamente:
Subtraindo:
Passo 5
(se quiser ver por substituição: faça
, então
. Os limites vão de
até
. A integral vira
, mesma resposta — só reforçando a ideia.)