(2,5 pontos) Uma placa de espessura L tem uma distribuição inicial de temperatura Ti=T0 cos [(pi x) / 2 L]. Em t>0, a superfície em x=0 é mantida isolada, e em x=L está trocando calor por convecção com um fluido cujo coeficiente de transferência de calor é muito elevado e temperatura da corrente livre igual a 25^circ C.
a) Suponha que a placa está gerando calor com uma taxa por unidade de volume igual a g0. Desenvolva uma expressão da distribuição de temperatura unidimensional, dependente do tempo T(x, t) na placa.
b) Calcule a temperatura da superfície isolada em t=2 h numa placa de espessura L=10 cm, difusividade térmica alpha=10^-6 m^2 / s e condutividade térmica k=1 W / m ^circ C admitindo T0=200 ^circ C e g0 =10^8 W / m^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que é sobre transferência de calor em uma placa. A questão nos apresenta uma placa com distribuição inicial de temperatura definida por $ T_i = T_0 \cos\left(\frac{\pi x}{2L}\right) $. Para $ t > 0 $, temos duas condições nas superfícies: em $ x = 0 $, a placa está isolada (sem troca de calor), e em $ x = L $, a placa está trocando calor por convecção com um fluido. Além disso, a placa gera calor internamente com uma taxa $ g_0 $. Vamos precisar usar a equação de condução de calor com geração interna para encontrar a distribuição de temperatura $ T(x, t) $ na placa e, depois, calcular a temperatura na superfície isolada após 2 horas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação básica da condução de calor unidimensional com geração interna. A equação é dada por:
partial Tpartial t = alpha partial^2 Tpartial x^2 + g0k
Aqui, $ \alpha $ é a difusividade térmica e $ k $ é a condutividade térmica. Essa equação descreve como a temperatura $ T(x, t) $ varia no espaço e no tempo devido à condução de calor e à geração interna de calor.

Passo 3

Vamos resolver a equação diferencial. Primeiramente, vamos separar a solução em duas partes: a solução homogênea e a solução particular.
  1. Solução Homogênea: Resolvemos a equação sem a geração de calor ($ g_0 = 0 $):
g0 = 0
A solução geral para isso pode ser expressa em termos de séries de Fourier, considerando as condições de contorno.
  1. Solução Particular: Encontramos uma solução particular para a equação completa com $ g_0 \neq 0 $. Supondo que a solução particular seja constante, temos:
partial Thpartial t = alpha partial^2 Thpartial x^2
Mas isso não depende de $ x $ ou $ t $, então precisamos considerar uma forma mais geral.

Passo 4

Agora, aplicamos as condições de contorno:
  1. Em $ x = 0 $: A superfície é isolada, então o fluxo de calor é zero:
x = 0
  1. Em $ x = L $: A troca de calor por convecção é dada por:
partial Tpartial x |x=0 = 0
Onde $ h $ é o coeficiente de transferência de calor e $ T_{\infty} = 25^\circ C $.

Passo 5

Considerando a superposição das soluções homogênea e particular, e aplicando a expansão em série de Fourier cosseno (devido à condição de isolamento em $ x = 0 $), chegamos à expressão geral da temperatura:
x = 0
Onde os coeficientes $ A_n $ são determinados pelas condições iniciais e específicas do problema.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial $ T_i = T_0 \cos\left(\frac{\pi x}{2L}\right) $ para determinar os coeficientes $ A_n $. Observando a expansão, vemos que apenas o termo $ n=0 $ contribui, então:
Ti = T0 cos(pi x2L)
Assim, a expressão da distribuição de temperatura fica:
An

Passo 7

Agora, para encontrar a temperatura na superfície isolada $ x=0 $ em $ t = 2 $ horas, substituímos $ x = 0 $ na expressão acima:
x=0
Sabemos que $ T_p = \frac{g_0}{k \cdot \alpha} $.

Passo 8

Vamos substituir os valores numéricos:
  • $ L = 10 , cm = 0,1 , m $
  • $ \alpha = 10^{-6} , m^2/s $
  • $ k = 1 , W/(m \cdot ^\circ C) $
  • $ T_0 = 200^\circ C $
  • $ g_0 = 10^8 , W/m^3 $
  • $ t = 2 , h = 7200 , s $
Primeiro, calculamos $ T_p $:
L = 10 , cm = 0,1 , m
Esse valor é extremamente alto, o que indica que talvez haja alguma inconsistência nos dados fornecidos ou na interpretação da geração de calor.

Resposta

A expressão da distribuição de temperatura na placa é:
T(x, t) = g0k cdot alpha + (T0 - g0k cdot alpha) cos(pi x2L) e^-alpha (pi2L)^2 t
E a temperatura na superfície isolada em $ t = 2 $ horas é $ T(0, 7200) = 10{14}\circ C $.

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