(2,0 pontos) Uma partícula de massa m está presa em uma caixa unidimensional de largura a. A função de onda é conhecida na forma
Psi(x)=12 raiz2a sin (pi xa)+raiz1a sin (3 pi xa)-12 raiz2a sin (4 pi xa)
Se a energia for medida, quais são os resultados possíveis e qual é a probabilidade de obter cada resultado? Qual é a energia mais provável para esse estado?

Passo 1

O enunciado nos dá a função de onda
Psi(x)=12raiz2asin!(pi xa) +raiz1asin!(3pi xa) -12raiz2asin!(4pi xa)
de uma partícula de massa m num poço infinito unidimensional de largura a. Pede-se os possíveis resultados da medida de energia e suas probabilidades, bem como qual energia é mais provável. Para resolver, vamos usar a base de autosta dos de energia do poço.

Passo 2

Os autosta dos do poço são
phin(x)=raiz2asin!(npi xa),
com energias
En=n^2pi^2hbar^22ma^2, n=1,2,3,dots
Como Psi(x) está escrita em termos de sin(npi x/a) apenas para n=1,3,4, só esses três níveis contribuem.

Passo 3

Para cada nin1,3,4 comparamos o coeficiente de sin(npi x/a) em Psi com phin.
  • Para n=1: Psi tem tfrac12raiz2/a, enquanto phi1=raiz2/asin(pi x/a). Logo
c1=tfrac12raiz2/araiz2/a=12
  • Para n=3: Psi tem raiz1/a, enquanto phi3=raiz2/asin(3pi x/a). Logo
c3=raiz1/araiz2/a=1raiz2
  • Para n=4: Psi tem -tfrac12raiz2/a, enquanto phi4=raiz2/asin(4pi x/a). Logo
c4=-tfrac12raiz2/araiz2/a=-12

Passo 4

A probabilidade de medir En é |cn|^2. Assim
|c1|^2=14, |c3|^2=12, |c4|^2=14
O nível mais provável é aquele com maior probabilidade, isto é n=3.

Resposta

Os resultados possíveis são
E1=pi^2hbar^22ma^2(prob 1/4), E3=9pi^2hbar^22ma^2(prob 1/2), E4=16pi^2hbar^22ma^2(prob 1/4)
A energia mais provável é
E3=9pi^2hbar^22ma^2

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