Em que pontos do plano as funções dadas abaixo são contínuas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x, y) = \ln\left(x^{2} - 2xy + y^{2}\right) $. A questão é descobrir em quais pontos desse plano a função é contínua. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre logaritmos e onde eles são definidos.
Passo 2
Primeiro, lembremos que o logaritmo natural, $ \ln(z) $, só é definido quando $ z > 0 $. Então, para a nossa função $ f(x, y) $ estar bem definida, o que está dentro do logaritmo precisa ser positivo. Ou seja, precisamos que:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa expressão. Observamos que:
Isso porque $ (x - y)^{2} = x^{2} - 2xy + y^{2} $.
Passo 4
Então, a condição para a função ser contínua fica:
Sabemos que um quadrado de qualquer número real é sempre maior ou igual a zero. Mas queremos saber onde ele é estritamente maior que zero.
Passo 5
A expressão $ (x - y)^{2} > 0 $ será verdadeira para todos os pontos onde $ x - y \neq 0 $, ou seja, onde $ x \neq y $.
Quando $ x = y $, temos $ (x - y)^{2} = 0 $, e o logaritmo não está definido nesse caso.
Passo 6
Portanto, a função $ f(x, y) = \ln\left(x^{2} - 2xy + y^{2}\right) $ é contínua em todos os pontos do plano onde $ x \neq y $.
Resposta
A função é contínua em todos os pontos do plano onde $ x $ é diferente de $ y $, ou seja, em todos os pontos onde $ x \neq y $.